ملخص تحليل البيانات (5): تحليل الانحدار وخط الانحدار — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة العاشرة: تحليل البيانات — الموضوع 10-6

عرفت في الدرس السابق أن المخطط المبعثر يكشف الارتباط بين متغيرين. لكن ماذا لو أردت أن تتنبأ؟ مثلًا: إذا ذاكر طالب 6 ساعات أسبوعيًّا، فما الدرجة المتوقعة له؟ نرسم خطًّا مستقيمًا يمر “وسط” النقاط، ونستخدم معادلته للتنبؤ. هذا هو تحليل الانحدار.

أهداف التعلم

أن تعرّف تحليل الانحدار وتحليل الانحدار البسيط.
أن تميز المتغير السببي (التفسيري) من المتغير الناتج.
أن تفسر معادلة خط الانحدار $y = ax + b$ .
أن تشرح فكرة طريقة المربعات الصغرى والمتبقي.
أن تستخدم معادلة خط الانحدار في التنبؤ.

شرح الدرس

تحليل الانحدار

تحليل الانحدار (Regression Analysis) طريقة لدراسة العلاقة بين القيمة الناتجة والقيمة السببية وتوضيحها، ويستخدم في التنبؤ والمحاكاة.

المتغير السببي (التفسيري) $x$ : المتغير الذي نعرف قيمته ونستخدمه للتنبؤ، مثل ساعات المذاكرة.
المتغير الناتج $y$ : المتغير الذي نريد التنبؤ به، مثل الدرجة.

تحليل الانحدار البسيط (Simple Regression Analysis): يتنبأ بالمتغير الناتج $y$ باستخدام متغير سببي واحد $x$ .

خط الانحدار ومعادلته

خط الانحدار (Regression Line) هو الخط المستقيم الذي يُرسم في المخطط المبعثر ليحدد القيم المتوقعة، ويُعبَّر عنه بدالة من الدرجة الأولى:

y = ax + b

$a$ : ميل الخط؛ وهو مقدار التغير المتوقع في $y$ عندما تزيد $x$ بمقدار 1. إذا كان $a$ موجبًا فالارتباط إيجابي، وإذا كان سالبًا فالارتباط سلبي.
$b$ : الجزء المقطوع من محور $y$ ؛ أي قيمة $y$ المتوقعة عندما $x = 0$ .

طريقة المربعات الصغرى والمتبقي

النقاط الفعلية لا تقع كلها على الخط. الفرق الرأسي بين القيمة الفعلية لنقطة والقيمة التي يتوقعها الخط يسمى المتبقي (Residual) أو الخطأ:

\text{residual} = y_{\text{actual}} - y_{\text{predicted}}

طريقة المربعات الصغرى (Least squares method) تختار الخط الذي يجعل مجموع مربعات المتبقيات أصغر ما يمكن؛ فيكون أفضل خط يناسب البيانات الفعلية. ونربّع المتبقيات لأن بعضها موجب وبعضها سالب، فلا يلغي بعضها بعضًا.

في جداول البيانات يمكن إضافة خط اتجاه خطي إلى المخطط المبعثر وعرض معادلته على الرسم.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (التنبؤ): في دراسة عن ساعات المذاكرة الأسبوعية $x$ ودرجة الاختبار $y$ (من 100)، كانت معادلة خط الانحدار:

y = 4.5x + 48

التفسير: كل ساعة مذاكرة إضافية يتوقع أن ترفع الدرجة بنحو 4.5 درجة، والطالب الذي لا يذاكر يتوقع له نحو 48 درجة.
التنبؤ عند $x = 6$ : $y = 4.5 \times 6 + 48 = 27 + 48 = 75$ درجة.

مثال 2 (المتبقي): طالب ذاكر 6 ساعات وحصل فعلًا على 80 درجة. المتبقي $= 80 - 75 = 5$ ؛ أي أن درجته أعلى من المتوقع بخمس درجات.

مثال 3 (ميل سالب): العلاقة بين ساعات اللعب على الهاتف يوميًّا $x$ وساعات النوم $y$ لها المعادلة:

y = -0.6x + 9.2

عند $x = 3$ : $y = -0.6 \times 3 + 9.2 = -1.8 + 9.2 = 7.4$ ساعة. الميل السالب يعني أن كل ساعة لعب إضافية يتوقع أن تنقص النوم بنحو 0.6 ساعة (36 دقيقة).

ملاحظات مهمة

عوّض دائمًا بقيمة $x$ (المتغير السببي) لتحصل على $y$ المتوقعة، ولا تعكس الترتيب.
التنبؤ تقديري وليس مؤكدًا؛ وكلما تفرقت النقاط بعيدًا عن الخط قلّت دقته.
احذر التنبؤ بقيم بعيدة جدًّا عن مدى البيانات التي بُني عليها الخط؛ فمثلًا لا معنى لتوقع درجة أكبر من 100 عند 20 ساعة مذاكرة.
انتبه للتقريب المطلوب في السؤال (لأقرب عدد صحيح مثلًا).

المفاهيم الأساسية

تحليل الانحدار: دراسة العلاقة بين المتغير السببي والمتغير الناتج للتنبؤ والمحاكاة.
الانحدار البسيط: متغير سببي واحد $x$ يتنبأ بمتغير ناتج $y$ .
خط الانحدار: $y = ax + b$ ، حيث $a$ الميل و $b$ الجزء المقطوع.
المتبقي: الفرق الرأسي بين القيمة الفعلية والقيمة المتوقعة.
المربعات الصغرى: تجعل مجموع مربعات المتبقيات أصغر ما يمكن.

ملخص الدرس

يستخدم تحليل الانحدار البسيط متغيرًا سببيًّا واحدًا للتنبؤ بمتغير ناتج، برسم خط انحدار مستقيم معادلته $y = ax + b$ في المخطط المبعثر. ويُختار هذا الخط بطريقة المربعات الصغرى التي تقلل مجموع مربعات المتبقيات (الأخطاء الرأسية) بين النقاط الفعلية والخط. وبالتعويض بقيمة $x$ في المعادلة نحصل على القيمة المتوقعة لـ $y$ .

أسئلة للتدريب

عرّف: تحليل الانحدار، خط الانحدار، المتبقي.
ما الفرق بين المتغير السببي والمتغير الناتج؟ اذكر مثالًا.
إذا كانت معادلة خط الانحدار $y = 0.03x + 300$ حيث $x$ عدد الخطوات اليومية و $y$ مدة النوم بالدقائق، فما مدة النوم المتوقعة عند 4000 خطوة؟
معادلة خط انحدار هي $y = -1.2x + 20$ . ما نوع الارتباط؟ وما قيمة $y$ المتوقعة عند $x = 5$ ؟
لماذا نربّع المتبقيات في طريقة المربعات الصغرى؟