ملخص الزاوية الموجهة — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات — البند 4-1

عقارب الساعة، وعجلة الدراجة، ومقبض الباب، كلها تدور. والدوران له مقدار وله اتجاه: مع عقارب الساعة أو عكسها. الزاوية الهندسية التي درستها سابقًا لا تهتم بالاتجاه، أما الزاوية التي نحتاجها في حساب المثلثات فتسجل الاتجاه أيضًا، وتسمى الزاوية الموجهة.

أهداف التعلم

أن تتعرف على الزاوية الموجهة ووضعها القياسي.
أن تميز بين القياس الموجب والقياس السالب لزاوية موجهة وتحول بينهما.
أن تحدد الربع الذي تقع فيه زاوية موجهة، وتتعرف على الزوايا الربعية.
أن توجد زوايا متكافئة مع زاوية معلومة.

شرح الدرس

القياس الستيني

تُقسم الدائرة إلى 360 قوسًا متساوية، والزاوية المركزية التي تقابل أحدها قياسها درجة واحدة $1^\circ$ . وتُقسم الدرجة إلى 60 دقيقة، والدقيقة إلى 60 ثانية:

1^\circ = 60' \qquad , \qquad 1' = 60''

الزاوية الموجهة

الزاوية الموجهة زوج مرتب من شعاعين لهما نقطة بداية واحدة (رأس الزاوية): الشعاع الأول يسمى الضلع الابتدائي والثاني يسمى الضلع النهائي. فالترتيب مهم: الزاوية من $OA$ إلى $OB$ تختلف في اتجاهها عن الزاوية من $OB$ إلى $OA$ .

الوضع القياسي

تكون الزاوية الموجهة في الوضع القياسي إذا تحقق شرطان:

رأسها نقطة الأصل في المستوى الإحداثي المتعامد.
ضلعها الابتدائي منطبق على الاتجاه الموجب لمحور السينات.

القياس الموجب والقياس السالب

يكون قياس الزاوية الموجهة موجبًا إذا كان الدوران من الضلع الابتدائي إلى الضلع النهائي عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
ويكون سالبًا إذا كان الدوران في اتجاه حركة عقارب الساعة.

وللزاوية الواحدة قياس موجب وقياس سالب مجموع مقداريهما $360^\circ$ :

إذا كان القياس الموجب $\theta$ فالقياس السالب $\theta - 360^\circ$ .
إذا كان القياس السالب $-\theta$ فالقياس الموجب $360^\circ - \theta$ .

موقع الزاوية في المستوى الإحداثي

يقسم المحوران المستوى إلى أربعة أرباع. إذا كانت الزاوية في الوضع القياسي وقياسها الموجب $\theta$ حيث $0^\circ < \theta < 360^\circ$ ، فإن ضلعها النهائي يقع في:

الربع	القياس
الأول	$0^\circ < \theta < 90^\circ$
الثاني	$90^\circ < \theta < 180^\circ$
الثالث	$180^\circ < \theta < 270^\circ$
الرابع	$270^\circ < \theta < 360^\circ$

وإذا وقع الضلع النهائي على أحد المحورين سميت الزاوية زاوية ربعية، مثل $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ$ ، وهي لا تنتمي لأي ربع.

الزوايا المتكافئة

الزوايا التي لها الضلع النهائي نفسه وهي في الوضع القياسي تسمى زوايا متكافئة. وتنتج بإضافة أو طرح مضاعفات $360^\circ$ :

\theta \pm n \times 360^\circ \qquad , \qquad n \in \mathbb{Z}^{+}

فالزوايا $30^\circ$ و $390^\circ$ و $-330^\circ$ متكافئة. ولتحديد ربع زاوية أكبر من $360^\circ$ أو سالبة، نوجد الزاوية المكافئة لها بين $0^\circ$ و $360^\circ$ أولًا.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد القياس السالب للزاوية التي قياسها الموجب $250^\circ$ .

$250^\circ - 360^\circ = -110^\circ$ .

مثال 2: حوّل $-140^\circ$ إلى القياس الموجب.

$360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$ .

مثال 3: عيّن الربع الذي تقع فيه كل زاوية: $72^\circ$ ، $199^\circ$ ، $160^\circ$ ، $340^\circ$ ، $180^\circ$ .

$72^\circ$ في الأول، $199^\circ$ في الثالث، $160^\circ$ في الثاني، $340^\circ$ في الرابع، و $180^\circ$ زاوية ربعية.

مثال 4: عيّن الربع الذي تقع فيه الزاوية $845^\circ$ .

$845^\circ - 2 \times 360^\circ = 125^\circ$ ، إذن تقع في الربع الثاني.

مثال 5: أوجد زاويتين إحداهما موجبة والأخرى سالبة تكافئان الزاوية $60^\circ$ .

$60^\circ + 360^\circ = 420^\circ$ ، و $60^\circ - 360^\circ = -300^\circ$ .

مثال 6: حوّل $25.36^\circ$ إلى درجات ودقائق وثوانٍ.

$0.36 \times 60 = 21.6'$ ، و $0.6 \times 60 = 36''$ ، إذن $25.36^\circ = 25^\circ\, 21'\, 36''$ .

ملاحظات مهمة

لا تخلط بين “القياس السالب” و”الزاوية في الربع الرابع”: الزاوية $-30^\circ$ تقع في الربع الرابع لأنها تكافئ $330^\circ$ .
الزاويتان المتكافئتان متساويتان في النسب المثلثية (كما سترى لاحقًا) لأن لهما الضلع النهائي نفسه.
استخدم مفتاح الدرجات والدقائق والثواني في الآلة الحاسبة للتحويل بين الصورتين العشرية والستينية.

المفاهيم الأساسية

الزاوية الموجهة: زوج مرتب من شعاعين (ضلع ابتدائي ثم ضلع نهائي).
الوضع القياسي: الرأس في نقطة الأصل والضلع الابتدائي على الاتجاه الموجب لمحور السينات.
عكس عقارب الساعة موجب، ومعها سالب، والفرق بين القياسين $360^\circ$ .
الزوايا المتكافئة: $\theta \pm n \times 360^\circ$ ، ولها الضلع النهائي نفسه.

ملخص الدرس

الزاوية الموجهة تسجل مقدار الدوران واتجاهه. نضعها في الوضع القياسي لنحدد موقع ضلعها النهائي في أحد الأرباع الأربعة أو على المحاور (زاوية ربعية). ولكل زاوية قياس موجب وآخر سالب، ولها عدد لا نهائي من الزوايا المتكافئة التي تختلف عنها بمضاعفات $360^\circ$ .

أسئلة للتدريب

أوجد القياس الموجب للزاوية $-135^\circ$ ، والقياس السالب للزاوية $200^\circ$ .
عيّن الربع الذي تقع فيه كل زاوية: $17^\circ$ ، $101^\circ$ ، $270^\circ$ ، $315^\circ$ ، $-100^\circ$ .
أوجد أصغر قياس موجب للزاوية $1000^\circ$ ، وحدد ربعها.
أوجد زاويتين تكافئان الزاوية $-45^\circ$ إحداهما موجبة.
حوّل $42^\circ\, 30'\, 18''$ إلى الصورة العشرية لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.