ملخص القياس الستيني والقياس الدائري لزاوية — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات — البند 4-2

الدرجة وحدة اختارها الإنسان بتقسيم الدائرة إلى 360 جزءًا. لكن هناك طريقة “طبيعية” أخرى لقياس الزاوية تربطها مباشرة بطول القوس الذي تقابله، وتسمى القياس الدائري. هذه الطريقة تبسط كثيرًا من القوانين، وتستخدمها الآلات الحاسبة وبرامج الحاسوب والفيزياء.

أهداف التعلم

أن تعرّف القياس الدائري للزاوية والزاوية النصف قطرية.
أن تحول قياس زاوية من الستيني إلى الدائري والعكس.
أن تحسب طول قوس في دائرة بمعلومية زاويته المركزية ونصف القطر.
أن توجد نصف القطر أو الزاوية المركزية بمعلومية طول القوس.

شرح الدرس

القياس الدائري

إذا رسمنا دوائر متحدة المركز، ورسمنا زاوية مركزية تقطعها، نلاحظ أن النسبة بين طول القوس الذي تحصره الزاوية وطول نصف قطر دائرته مقدار ثابت لا يتغير بتغير الدائرة. هذا المقدار الثابت هو القياس الدائري للزاوية:

\theta^{rad} = \frac{l}{r}

حيث $l$ طول القوس و $r$ طول نصف القطر.

الزاوية النصف قطرية (الراديان)

الزاوية النصف قطرية هي الزاوية المركزية التي تحصر قوسًا طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة. وقياسها يساوي واحد راديان، وهي وحدة القياس الدائري، ويرمز لها $1^{rad}$ .

العلاقة بين القياسين

الزاوية المركزية التي قياسها $360^\circ$ تحصر الدائرة كلها، وطول محيطها $2\pi r$ ، فقياسها الدائري $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ . إذن:

2\pi^{rad} \equiv 360^\circ \qquad , \qquad \pi^{rad} \equiv 180^\circ

وإذا كان القياس الدائري لزاوية $\theta^{rad}$ وقياسها الستيني $x^\circ$ فإن:

\frac{\theta^{rad}}{\pi} = \frac{x^\circ}{180^\circ}

ومنها:

من الستيني إلى الدائري: $\theta^{rad} = x^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}$ .
من الدائري إلى الستيني: $x^\circ = \theta^{rad} \times \frac{180^\circ}{\pi}$ .

ومن ذلك أن $1^{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ\, 17'\, 45''$ .

جدول لزوايا شائعة

الستيني	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
الدائري	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

طول القوس

من تعريف القياس الدائري نستنتج:

l = \theta^{rad} \times r \qquad , \qquad r = \frac{l}{\theta^{rad}}

وإذا كانت الزاوية معطاة بالدرجات فحوّلها أولًا إلى الراديان.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حوّل $150^\circ$ إلى القياس الدائري بدلالة $\pi$ .

$\theta^{rad} = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ .

مثال 2: حوّل $\frac{7\pi}{4}$ إلى القياس الستيني.

$x = \frac{7\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \times 45^\circ = 315^\circ$ .

مثال 3: حوّل $2.5^{rad}$ إلى القياس الستيني لأقرب ثانية.

$x = 2.5 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 143.2394^\circ \approx 143^\circ\, 14'\, 22''$ .

مثال 4: دائرة طول نصف قطرها 10 سم. أوجد طول القوس الذي يقابل زاوية مركزية قياسها $\frac{\pi}{5}$ ، مقربًا لأقرب جزء من عشرة.

$l = \frac{\pi}{5} \times 10 = 2\pi \approx 6.3$ سم.

مثال 5: قوس طوله 12 سم في دائرة يقابل زاوية مركزية قياسها $120^\circ$ . أوجد طول نصف قطر الدائرة.

$120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ ، إذن $r = \frac{12}{2\pi/3} = \frac{18}{\pi} \approx 5.73$ سم.

مثال 6 (تطبيق): يدور عقرب دقائق طوله 9 سم لمدة 20 دقيقة. ما طول القوس الذي يرسمه طرفه؟

في 20 دقيقة يدور العقرب ثلث دورة، أي $\frac{2\pi}{3}$ ، إذن $l = \frac{2\pi}{3} \times 9 = 6\pi \approx 18.85$ سم.

ملاحظات مهمة

الرمز $\pi$ في القياس الدائري يعني العدد $\pi \approx 3.14$ ، و $\pi^{rad}$ تكافئ $180^\circ$ ؛ فلا تكتب $\pi = 180$ .
تأكد من وضع الآلة الحاسبة: وضع الدرجات (Deg) أو وضع الراديان (Rad) قبل حساب النسب المثلثية.
في الكتاب المدرسي يُرمز لطول القوس بالحرف ل ولنصف القطر بالحرف نق، ويُكتب القياس الدائري θ مع علامة (د) أعلاه.

المفاهيم الأساسية

القياس الدائري = طول القوس ÷ طول نصف القطر.
الراديان: زاوية مركزية تحصر قوسًا طوله يساوي نصف القطر.
$\pi^{rad} \equiv 180^\circ$ ، و $1^{rad} \approx 57^\circ\, 17'\, 45''$ .
طول القوس $l = \theta^{rad} \times r$ .

ملخص الدرس

للزاوية قياسان: ستيني بالدرجات، ودائري بالراديان يساوي نسبة طول القوس إلى نصف القطر. نتحول بينهما باستخدام $\pi^{rad} \equiv 180^\circ$ ، ونستخدم القياس الدائري مباشرة لحساب طول القوس أو نصف القطر.

أسئلة للتدريب

حوّل إلى القياس الدائري بدلالة $\pi$ : $45^\circ$ ، $210^\circ$ ، $300^\circ$ .
حوّل إلى القياس الستيني: $\frac{2\pi}{3}$ ، $\frac{11\pi}{6}$ ، $1.2^{rad}$ (لأقرب دقيقة).
أوجد طول القوس الذي يقابل زاوية مركزية قياسها $60^\circ$ في دائرة نصف قطرها 6 سم.
قوس طوله $5\pi$ سم يقابل زاوية مركزية قياسها $\frac{5\pi}{6}$ . أوجد طول قطر الدائرة.
أيهما أكبر: زاوية قياسها $1^{rad}$ أم زاوية قياسها $60^\circ$ ؟ فسّر.