ملخص حركة الأجسام المتصلة — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الثانية: تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة

حين تقف على ميزان داخل مصعد يبدأ الصعود تشعر أن «وزنك» زاد فجأة، وحين يبدأ الهبوط تشعر أنه نقص. هل تغيرت كتلتك؟ بالطبع لا؛ تغيّر ما يقرؤه الميزان. وفي البكرة التي ترفع بها حمولة تتحرك كتلتان معًا بالعجلة نفسها. هذه كلها تطبيقات على القانون الثالث لنيوتن (لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومضاد في الاتجاه) مع معادلة الحركة.

أهداف التعلم

تحسب رد فعل أرضية المصعد (الوزن الظاهري) لشخص في مصعد متحرك بعجلة.
تفسر قراءة ميزان الزنبرك وميزان الضغط والميزان المعتاد في المصعد.
تحلل حركة جسمين متصلين بخيط يمر على بكرة ملساء، وتحسب العجلة والشد والضغط على البكرة.
تحسب أثر قطع الخيط أو إضافة كتلة أو فصلها أثناء الحركة.

شرح الدرس

الضغط ورد الفعل والوزن الظاهري

الجسم الموضوع على سطح يضغط عليه بقوة تساوي وزنه إذا كان ساكنًا، وللسطح رد فعل مساوٍ للضغط ومضاد له. لكن إذا تحرك السطح بعجلة فإن الضغط يتغير ويسمى الوزن الظاهري.

حركة المصاعد

شخص كتلته $m$ داخل مصعد يؤثر فيه قوتان: وزنه $mg$ لأسفل ورد فعل أرضية المصعد $R$ لأعلى (وهو يساوي ضغط الشخص على الأرضية). فإذا تحرك المصعد بعجلة $a$ :

عجلة إلى أعلى (صعود متسارع أو هبوط متباطئ): $R - mg = ma$ ومنها $R = m(g + a)$ .
عجلة إلى أسفل (هبوط متسارع أو صعود متباطئ): $mg - R = ma$ ومنها $R = m(g - a)$ .
ساكن أو بسرعة منتظمة: $R = mg$ .

وتؤثر على المصعد وحده قوى هي وزنه وضغط الشخص عليه وشد الحبل، ومعادلة المجموعة كلها (شخص + مصعد) $T - (M + m)g = (M + m)a$ لأعلى.

شخص داخل مصعد يتحرك لأعلى بعجلة مع القوتين R وmg وحالات الحركة الثلاث

الموازين داخل المصعد

ميزان الزنبرك المعلق بسقف المصعد تعبر قراءته عن الشد في سلكه.
ميزان الضغط الموضوع على الأرضية تعبر قراءته عن ضغط الجسم عليه، أي عن $R$ .
الميزان ذو الكفتين يقيس الوزن الحقيقي دائمًا؛ فلا يتأثر بحركة المصعد.

إذا كانت القراءة أكبر من الوزن الحقيقي فالعجلة إلى أعلى، وإذا كانت أقل فالعجلة إلى أسفل، وإذا تساوتا فالمصعد ساكن أو بسرعة منتظمة. وإذا صعد المصعد بعجلة وهبط بالعجلة نفسها كان مجموع القراءتين ضعف الوزن الحقيقي.

جسمان متصلان بخيط على بكرة ملساء

نربط جسمين كتلتاهما $m_1 > m_2$ بخيط خفيف غير مرن يمر على بكرة صغيرة ملساء، ويتدلى الجسمان رأسيًا. يكون الشد $T$ واحدًا على جانبي الخيط، ويتحرك الجسمان بالعجلة نفسها $a$ (الأثقل لأسفل والأخف لأعلى). معادلتا الحركة:

m_1 g - T = m_1 a, \qquad T - m_2 g = m_2 a

وبجمعهما:

a = \frac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2}, \qquad T = \frac{2\,m_1 m_2\,g}{m_1 + m_2}

ويكون الضغط على محور البكرة $2T$ (محصلة الشدين). وإذا كانت الكتلتان متساويتين فلا عجلة، أي تسكنان أو تتحركان بسرعة منتظمة.

جسمان متصلان بخيط على بكرة ملساء مع الشد والوزنين والعجلة والمعادلات

قطع الخيط أو فصل كتلة

قطع الخيط بعد زمن $t$ : يتحرك كل جسم في اتجاهه نفسه بسرعة لحظة القطع $v$ تحت تأثير الجاذبية فقط؛ الأثقل يسقط سقوطًا حرًا والأخف يتحرك لأعلى بتقصير $g$ حتى يسكن لحظيًا ثم يسقط.
فصل كتلة إضافية (حيث $m_1 = m + m'$ و $m_2 = m$ ): تتحرك المجموعة بعجلة تزايدية حتى لحظة الفصل، ثم بسرعة $v$ المكتسبة وبعجلة تقصيرية جديدة تحسب من معادلتي الحركة للكتلتين المتبقيتين.

تعريفات

الوزن الظاهري: رد فعل السطح على الجسم، أو ما يقرؤه ميزان الضغط أو الزنبرك.
رد الفعل: قوة يؤثر بها السطح في الجسم المرتكز عليه.
البكرة الملساء: بكرة لا تقاوم دورانها، فيتساوى الشد على جانبي الخيط.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: شخص كتلته $60$ كجم داخل مصعد. أوجد ضغطه على أرضية المصعد بوحدة ث كجم إذا كان المصعد: (أ) ساكنًا، (ب) صاعدًا بعجلة $1.2$ م/ث²، (ج) هابطًا بعجلة $1.2$ م/ث².

الحل: (أ) $R = mg = 588$ نيوتن $= 60$ ث كجم. (ب) $R = 60(9.8 + 1.2) = 660$ نيوتن $= \dfrac{660}{9.8} \approx 67.3$ ث كجم. (ج) $R = 60(9.8 - 1.2) = 516$ نيوتن $\approx 52.7$ ث كجم.

مثال 2: جسم وزنه الحقيقي $60$ ث كجم معلق بميزان زنبركي في سقف مصعد، فقرأ الميزان $75$ ث كجم. أوجد العجلة وبيّن اتجاهها.

الحل: الشد أكبر من الوزن فالعجلة لأعلى: $T - W = ma$ أي $(75 - 60) \times 9.8 = 60a$ ومنها $a = \dfrac{147}{60} = 2.45$ م/ث².

مثال 3 (قراءتان): جسم معلق بميزان زنبركي في مصعد، قرأ الميزان $7.2$ ث كجم عند الصعود بعجلة وقرأ $4.8$ ث كجم عند الهبوط بالعجلة نفسها. أوجد كتلة الجسم والعجلة.

الحل: الوزن الحقيقي $= \dfrac{7.2 + 4.8}{2} = 6$ ث كجم فالكتلة $6$ كجم. $T - W = ma$ : $(7.2 - 6) \times 9.8 = 6a$ ومنها $a = 1.96$ م/ث².

مثال 4 (الحمولة القصوى): مصعد كتلته $300$ كجم، والحبل الذي يحمله لا يتحمل شدًا أكبر من $4320$ نيوتن. ما أقصى حمولة يمكن أن يرفعها وهو يصعد بعجلة $1$ م/ث²؟

الحل: $T - (300 + m)g = (300 + m)a$ فـ $(300 + m)(9.8 + 1) = 4320$ أي $300 + m = 400$ و $m = 100$ كجم.

مثال 5 (بكرة): جسمان كتلتاهما $5$ و $3$ كجم مربوطان بخيط يمر على بكرة ملساء. أوجد العجلة والشد والضغط على البكرة، وسرعة المجموعة بعد ثانيتين من السكون.

الحل: $a = \dfrac{(5 - 3) \times 9.8}{8} = 2.45$ م/ث². $T = \dfrac{2 \times 5 \times 3 \times 9.8}{8} = 36.75$ نيوتن. الضغط $2T = 73.5$ نيوتن. السرعة بعد $2$ ث: $v = 2.45 \times 2 = 4.9$ م/ث.

مثال 6 (قطع الخيط): في المثال السابق إذا قُطع الخيط بعد ثانية من بدء الحركة، فأوجد أقصى ارتفاع إضافي يصعده الجسم $3$ كجم.

الحل: عند القطع $v = 2.45 \times 1 = 2.45$ م/ث. يتحرك الجسم $3$ كجم لأعلى بتقصير $g$ : الإزاحة الإضافية $\dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{6.0025}{19.6} \approx 0.306$ م، بعد زمن $\dfrac{v}{g} = 0.25$ ث.

مثال 7 (إضافة كتلة): كتلتان متساويتان $4$ كجم لكل منهما مربوطتان بخيط على بكرة ملساء، وُضعت كتلة $2$ كجم فوق إحداهما. أوجد العجلة والشد.

الحل: الجانب الأثقل $6$ كجم والآخر $4$ كجم: $a = \dfrac{(6 - 4)\,g}{10} = 1.96$ م/ث²، $T = 4(9.8 + 1.96) = 47.04$ نيوتن. وإذا فُصلت الكتلة الإضافية بعد ثانيتين فستصبح المجموعة (كتلتان متساويتان) متحركة بسرعة منتظمة مقدارها $1.96 \times 2 = 3.92$ م/ث.

ملاحظات مهمة

ما تقيسه الموازين هو الوزن الظاهري، وليس الكتلة؛ فالكتلة لا تتغير في المصعد.
في مسائل البكرة اكتب معادلة لكل جسم على حدة ثم اجمع أو اطرح لحذف $T$ .
افترض أن البكرة صغيرة ملساء وأن الخيط خفيف غير مرن إلا إذا نصّت المسألة على غير ذلك.
لحظة قطع الخيط تكون السرعة مستمرة (لا تقفز)، لكن العجلة تتغير فجأة.

المفاهيم الأساسية

مصعد صاعد بعجلة: $R = m(g + a)$ ، وهابط بعجلة: $R = m(g - a)$ .
ميزان الضغط يقيس $R$ ، وميزان الزنبرك يقيس الشد، والميزان ذو الكفتين يقيس الوزن الحقيقي.
بكرة ملساء: $a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$ ، $T = \dfrac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$ ، والضغط $2T$ .
عند قطع الخيط تُحفظ السرعة وتصبح العجلة $g$ لكل جسم.

ملخص الدرس

تتغير قراءة ميزان الضغط في مصعد متحرك لأن رد فعل الأرضية يساوي $m(g \pm a)$ . وفي نظام البكرة الملساء يتحرك الجسمان بالعجلة نفسها ويتساوى الشد على جانبي الخيط، فنحصل على $a$ و $T$ من معادلتي الحركة. وعند قطع الخيط أو فصل كتلة نُتابع الحركة من اللحظة نفسها بالسرعة المكتسبة والعجلة الجديدة.

أسئلة للتدريب

شخص كتلته $70$ كجم في مصعد يتحرك لأسفل بعجلة $0.98$ م/ث². أوجد قراءة ميزان الضغط بوحدة ث كجم.
جسمان كتلتاهما $6$ و $4$ كجم على بكرة ملساء. أوجد العجلة والشد.
لماذا لا يتغير قراءة الميزان ذي الكفتين داخل مصعد متحرك؟
إذا قرأ ميزان زنبركي $48$ ث كجم لجسم وزنه $40$ ث كجم في مصعد، فما عجلة المصعد واتجاهها؟