ملخص اطراد الدوال — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

قد يكشف جدول قيم أو منحنى أن قيم دالة ترتفع كلما اتجهنا يمينًا، أو أنها تنخفض، أو أن سلوكها يتغير من فترة إلى أخرى. يسمى وصف هذا السلوك اطراد الدالة. وهو وصف للمقارنة بين نواتج الدالة عند مدخلات مرتبة، وليس حكمًا على كون النواتج موجبة أو سالبة.

أهداف التعلم

أن يعرف الطالب التزايد والتناقص والثبوت على فترة.
أن يميز فترات التزايد والتناقص من جدول قيم أو منحنى.
أن يستخدم إشارة معدل التغير لاستنتاج سلوك الدالة.
أن يفرق بين اطراد الدالة وإشارة قيمها.

شرح الدرس

معنى التزايد

نقول إن $f$ متزايدة على فترة إذا كان ترتيب المدخلات يحفظ ترتيب النواتج. أي إذا اخترنا $x_1$ و $x_2$ من الفترة وكان $x_1<x_2$ ، فإن:

f(x_1)<f(x_2)

في التزايد ترتفع قيمة الدالة كلما زاد $x$ . مثلًا، الدالة $f(x)=3x-1$ متزايدة على $\mathbb{R}$ ؛ فإذا زاد المدخل مقدار وحدة واحدة زاد الناتج ثلاث وحدات.

معنى التناقص

نقول إن $f$ متناقصة على فترة إذا كان $x_1<x_2$ يؤدي إلى:

f(x_1)>f(x_2)

فهنا تنخفض النواتج عندما تزداد المدخلات. فالدالة $g(x)=5-2x$ متناقصة على $\mathbb{R}$ ، لأن زيادة $x$ وحدة واحدة تنقص الناتج وحدتين.

قد نستخدم المقارنة غير الصارمة فنقول «غير متناقصة» عندما $f(x_1)\le f(x_2)$ ، أو «غير متزايدة» عندما $f(x_1)\ge f(x_2)$ . يسمح هذا بوجود أجزاء ثابتة، بينما التزايد أو التناقص الصارم لا يسمح بتساوي ناتجين لمدخلين مختلفين في الفترة.

الدالة الثابتة على فترة

نقول إن $f$ ثابتة على فترة إذا كان $f(x_1)=f(x_2)$ لكل $x_1$ و $x_2$ في تلك الفترة، ويكون منحناها عليها قطعة مستقيمة أفقية. فمثلًا إذا كانت $f(x)=x^2$ عندما $x<2$ و $f(x)=4$ عندما $x\ge2$ ، فإن $f$ متناقصة على $(-\infty,0)$ ، ومتزايدة على $(0,2)$ ، وثابتة على $(2,\infty)$ .

قراءة الاطراد من الرسم

نقرأ المنحنى من اليسار إلى اليمين، أي في اتجاه زيادة $x$ . إذا صعد المنحنى كانت الدالة متزايدة، وإذا هبط كانت متناقصة. يجب كتابة فترة الاطراد، لأن الدالة قد تتزايد في جزء من مجالها وتتناقص في جزء آخر.

مثلًا، منحنى $p(x)=x^2$ يهبط من اليسار حتى يصل إلى رأسه عند $x=0$ ، ثم يصعد. لذلك هو متناقص على $(-\infty,0)$ ومتزايد على $(0,\infty)$ .

معدل التغير

بين مدخلين $x_1$ و $x_2$ حيث $x_1\ne x_2$ ، يحسب معدل التغير بالصيغة:

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

وهو ميل القاطع المار بنقطتي المنحنى. إذا كان موجبًا لكل زوج مرتب من القيم في فترة دل على التزايد، وإذا كان سالبًا دل على التناقص. أما اختبار زوج واحد فلا يكفي لإثبات الاطراد على فترة كاملة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: للدالة $f(x)=2x+3$ ، إذا كان $x_1<x_2$ فإن $2x_1+3<2x_2+3$ ، ومن ثم فهي متزايدة على $\mathbb{R}$ .

مثال 2: معدل تغير $g(x)=x^2$ بين $x=1$ و $x=4$ هو:

\frac{g(4)-g(1)}{4-1}=\frac{16-1}{3}=5

وهذا يتفق مع تزايد الدالة على الفترة $[1,4]$ .

مثال 3: إذا كان جدول يعطي $f(0)=6$ ، و $f(1)=4$ ، و $f(2)=1$ ، فإن النواتج تنقص مع زيادة المدخلات، ويبين الجدول تناقصًا عبر القيم المعروضة.

ملاحظات مهمة

نقرأ فترات الاطراد بحسب قيم $x$ من اليسار إلى اليمين، وليس بحسب حركة قلم الرسم.
قد تكون قيم الدالة سالبة والدالة متزايدة؛ فمثلًا $-5<-2$ على الرغم من أن القيمتين سالبتان.
نصف الدالة على فترة محددة؛ فقد لا يصح الوصف على مجالها كله.

المفاهيم الأساسية

في الدالة المتزايدة، $x_1<x_2$ يؤدي إلى $f(x_1)<f(x_2)$ .
في الدالة المتناقصة، $x_1<x_2$ يؤدي إلى $f(x_1)>f(x_2)$ .
صعود المنحنى من اليسار إلى اليمين يعني التزايد، وهبوطه يعني التناقص، واستواؤه أفقيًّا يعني الثبوت.
إشارة معدل التغير بين نقطتين تصف اتجاه التغير بينهما.

ملخص الدرس

يصف اطراد الدالة تغير نواتجها عند زيادة المدخلات. الدالة المتزايدة تحفظ الترتيب، والمتناقصة تعكسه. نحدد السلوك على فترات معينة من التعريف، أو جدول القيم، أو المنحنى، أو إشارة معدل التغير. ولا يجب الخلط بين التزايد وكون القيم موجبة.

أسئلة للتدريب

حدد ما إذا كانت $f(x)=7-3x$ متزايدة أم متناقصة على $\mathbb{R}$ ، وفسر.
لماذا لا يعني كون $f(x)<0$ أن الدالة متناقصة؟
احسب معدل تغير $g(x)=x^2+1$ بين $x=2$ و $x=5$ .
صف فترات التزايد والتناقص للدالة $p(x)=(x-2)^2$ .
إذا كان $f(1)=8$ و $f(4)=2$ ، فاحسب معدل التغير بين القيمتين وفسر إشارته.
ارسم الدالة: $f(x)=-x$ عندما $x<0$ ، و $f(x)=0$ عندما $0\le x\le3$ ، و $f(x)=x-3$ عندما $x>3$ ، ثم ابحث اطرادها.