ملخص مقدمة في النهايات — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: النهايات والاتصال

تخيّل أنك تمشي نحو باب، وفي كل خطوة تقطع نصف المسافة الباقية. لن تصل إلى الباب تمامًا، لكنك تقترب منه أكثر فأكثر. فكرة النهاية في الرياضيات تشبه ذلك: نسأل إلى أي قيمة تقترب $f(x)$ عندما يقترب $x$ من عدد معين، حتى لو لم تكن الدالة معرفة عند ذلك العدد. هذه الفكرة أساس علم التفاضل والتكامل.

أهداف التعلم

أن يجري الطالب العمليات على الرمزين $\infty$ و $-\infty$ في مجموعة الأعداد الحقيقية الممتدة.
أن يميز الطالب الكميات غير المعيّنة من الكميات غير المعرّفة.
أن يقدّر الطالب نهاية دالة عند نقطة من التمثيل البياني.
أن يقدّر الطالب نهاية دالة عند نقطة عدديًّا باستخدام جدول قيم.
أن يميز الطالب بين نهاية الدالة عند نقطة وقيمة الدالة عندها.

شرح الدرس

مجموعة الأعداد الحقيقية الممتدة

الرمز $\infty$ لا يمثل عددًا حقيقيًّا، بل يعبّر عن كمية تكبر بلا حد. ونسمي المجموعة $\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$ مجموعة الأعداد الحقيقية الممتدة. ولكل $a\in\mathbb{R}$ :

$\infty+a=\infty$ و $-\infty+a=-\infty$ .
$\infty+\infty=\infty$ و $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$ .
$a\times\infty=\infty$ إذا كان $a>0$ ، و $a\times\infty=-\infty$ إذا كان $a<0$ .
$\frac{a}{\infty}=0$ ، و $\infty\times\infty=\infty$ .

الكميات غير المعرّفة وغير المعيّنة

$\frac{a}{0}$ حيث $a\ne0$ غير معرّفة: لا يوجد عدد يضرب في صفر فيعطي $a$ .
$\frac{0}{0}$ كمية غير معيّنة: كل عدد يضرب في صفر يعطي صفرًا، فلا يمكن تعيين ناتج واحد.

والكميات غير المعيّنة المشهورة هي:

\frac{0}{0},\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad \infty-\infty,\qquad 0\times\infty

ظهور كمية غير معيّنة عند التعويض لا يعني أن النهاية غير موجودة؛ بل يعني أننا نحتاج إلى طريقة أخرى لإيجادها (سنتعلمها في الدرس التالي).

مفهوم نهاية الدالة عند نقطة

إذا اقتربت قيم $f(x)$ من عدد وحيد $L$ كلما اقترب $x$ من العدد $a$ من الجهتين (اليمين واليسار)، نقول إن نهاية $f(x)$ عندما $x$ تقترب من $a$ تساوي $L$ ، ونكتب:

\lim_{x\to a}f(x)=L

المهم في النهاية هو سلوك الدالة قرب $a$ وليس قيمتها عند $a$ . لذلك قد توجد النهاية حتى لو كانت $f(a)$ غير معرفة، وقد تختلف النهاية عن $f(a)$ .

التقدير العددي

نختار قيمًا لـ $x$ تقترب من $a$ من اليمين ومن اليسار، ونحسب $f(x)$ . مثلًا للدالة $f(x)=3x-1$ عندما $x\to2$ :

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$2$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$4.7$	$4.97$	$4.997$	?	$5.003$	$5.03$	$5.3$

القيم تقترب من $5$ من الجهتين، إذن $\lim_{x\to2}(3x-1)=5$ ، وهي هنا تساوي $f(2)$ .

حالة لا تساوي فيها النهاية قيمة الدالة

خذ $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ . عند $x=2$ نحصل على $\frac{0}{0}$ ، فالدالة غير معرّفة عند $2$ . لكن لكل $x\ne2$ :

f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2

فمنحنى $f$ هو المستقيم $y=x+2$ مع فجوة (نقطة مفرغة) عند $(2,4)$ .

المستقيم y يساوي x زائد 2 به نقطة مفرغة عند 2 و4، وأسهم على محور x تقترب من 2 من الجهتين

وجدول القيم يؤكد ذلك:

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$2$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	غير معرّفة	$4.001$	$4.01$	$4.1$

إذن $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$ مع أن $f(2)$ غير معرّفة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد ناتج كل مما يأتي في مجموعة الأعداد الحقيقية الممتدة إن أمكن: $\infty+7$ ، $-3\times\infty$ ، $\frac{5}{\infty}$ ، $\infty-\infty$ ، $\frac{8}{0}$ .

$\infty+7=\infty$ ، و $-3\times\infty=-\infty$ ، و $\frac{5}{\infty}=0$ ، و $\infty-\infty$ كمية غير معيّنة، و $\frac{8}{0}$ غير معرّفة.

مثال 2: قدّر $\lim_{x\to-1}(x^2+2)$ عدديًّا.

عند $x=-1.01$ تكون $f(x)=3.0201$ ، وعند $x=-0.99$ تكون $f(x)=2.9801$ ، وعند $x=-0.999$ تكون $f(x)\approx2.998$ . القيم تقترب من $3$ ، إذن النهاية $3$ .

مثال 3: من الرسم: منحنى دالة يقترب من الارتفاع $5$ كلما اقترب $x$ من $1$ من الجهتين، بينما النقطة الموجودة فعليًا عند $x=1$ هي $(1,2)$ . ماذا نستنتج؟

$\lim_{x\to1}f(x)=5$ بينما $f(1)=2$ ؛ فالنهاية لا تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة نفسها.

ملاحظات مهمة

$\infty$ ليس عددًا، فلا نعامله كعدد في العمليات غير المعيّنة.
$\frac{0}{0}$ لا تعني أن الناتج صفر أو واحد، بل تعني «يحتاج إلى بحث».
لكي توجد النهاية يجب أن تقترب قيم الدالة من العدد نفسه من الجهتين.
$\lim_{x\to a}f(x)$ قد توجد وإن كانت $f(a)$ غير معرّفة.

المفاهيم الأساسية

الكميات غير المعيّنة: $\frac{0}{0}$ ، $\frac{\infty}{\infty}$ ، $\infty-\infty$ ، $0\times\infty$ .
$\lim_{x\to a}f(x)=L$ تعني أن $f(x)$ تقترب من $L$ عندما يقترب $x$ من $a$ من الجهتين.
يمكن تقدير النهاية من الرسم أو من جدول قيم قريبة من $a$ .
النهاية تصف السلوك قرب النقطة، لا القيمة عندها.

ملخص الدرس

تتعامل النهايات مع الاقتراب: نراقب قيم الدالة كلما اقترب المتغير من عدد ما، ونسأل عن العدد الذي تقترب منه تلك القيم. قد تساوي النهاية قيمة الدالة وقد لا تساويها، وقد توجد مع أن الدالة غير معرفة عند النقطة. ولتقدير النهاية نستخدم الرسم البياني أو جداول القيم، ونميز الكميات غير المعيّنة التي تحتاج إلى معالجة جبرية.

أسئلة للتدريب

أوجد إن أمكن: $-\infty-5$ ، $4\times(-\infty)$ ، $\frac{-2}{\infty}$ ، $\frac{\infty}{\infty}$ ، $0\times5$ .
قدّر عدديًّا $\lim_{x\to3}(2x+1)$ بجدول قيم من الجهتين.
قدّر $\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$ عدديًّا، ثم ارسم منحنى الدالة.
هل يمكن أن تكون $\lim_{x\to a}f(x)$ موجودة و $f(a)$ غير معرّفة؟ أعط مثالًا.
لماذا يعد $\frac{0}{0}$ كمية غير معيّنة بينما $\frac{5}{0}$ غير معرّفة؟