ملخص الاتصال — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: النهايات والاتصال

عندما ترسم منحنى دالة دون أن ترفع القلم عن الورقة، فهذه الدالة متصلة. أما إذا اضطررت إلى رفع القلم بسبب فجوة أو قفزة أو نقطة شاذة، فالدالة غير متصلة عند ذلك الموضع. في هذا الدرس نحوّل هذه الصورة الحدسية إلى تعريف دقيق يعتمد على النهايات.

أهداف التعلم

أن يذكر الطالب الشروط الثلاثة لاتصال الدالة عند نقطة.
أن يبحث الطالب اتصال دالة عند نقطة جبريًّا وبيانيًّا.
أن يميز الطالب حالات عدم الاتصال.
أن يبحث الطالب اتصال دالة على فترة، ويعرف فترات اتصال الدوال المشهورة.
أن يوجد الطالب ثوابت مجهولة تجعل دالة متعددة القاعدة متصلة.

شرح الدرس

الاتصال عند نقطة

تكون الدالة $f$ متصلة عند $x=a$ إذا تحققت الشروط الثلاثة:

$f(a)$ معرّفة.
$\lim_{x\to a}f(x)$ موجودة.
$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .

ويمكن اختصار ذلك في عبارة واحدة:

\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)

حالات عدم الاتصال

ثلاثة رسوم: الأول مستقيم به نقطة مفرغة لأن الدالة غير معرفة، والثاني النهاية موجودة لكن النقطة المظللة في موضع آخر، والثالث قفزة بين جزأين

فجوة: $f(a)$ غير معرّفة (يفشل الشرط الأول)، مثل $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ عند $x=2$ .
نقطة منفصلة: النهاية موجودة والدالة معرّفة، لكن $\lim_{x\to a}f(x)\ne f(a)$ (يفشل الشرط الثالث).
قفزة: النهايتان من الجهتين مختلفتان، فالنهاية غير موجودة (يفشل الشرط الثاني).

الاتصال من جهة واحدة

$f$ متصلة من اليمين عند $a$ إذا كان $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ .
$f$ متصلة من اليسار عند $a$ إذا كان $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$ .

والدالة متصلة عند $a$ إذا كانت متصلة من الجهتين معًا.

الاتصال على فترة

تكون $f$ متصلة على الفترة المفتوحة $(a,b)$ إذا كانت متصلة عند كل نقطة فيها.
تكون متصلة على الفترة المغلقة $[a,b]$ إذا كانت متصلة على $(a,b)$ ، ومتصلة من اليمين عند $a$ ، ومن اليسار عند $b$ .

دوال متصلة نعرفها

كثيرة الحدود متصلة على $\mathbb{R}$ .
الدالة الكسرية $\frac{f(x)}{g(x)}$ (كثيرتا حدود) متصلة على $\mathbb{R}$ ما عدا أصفار المقام.
الدالتان $\sin x$ و $\cos x$ متصلتان على $\mathbb{R}$ .
الدالة الأسية $a^x$ متصلة على $\mathbb{R}$ ، والدالة $\sqrt{x}$ متصلة على $[0,\infty)$ .
مجموع دالتين متصلتين وفرقهما وحاصل ضربهما دوال متصلة، وكذلك خارج قسمتهما حيث لا ينعدم المقام.

لذلك نحتاج في الدالة متعددة القاعدة عادةً إلى بحث الاتصال عند نقاط التحول فقط، لأن كل قاعدة متصلة على فترتها.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: ابحث اتصال $f(x)=\frac{x+1}{x^2-9}$ .

الدالة كسرية، فهي متصلة على $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$ وغير متصلة عند $\pm3$ لأنها غير معرّفة هناك.

مثال 2: ابحث اتصال $f$ عند $x=2$ حيث $f(x)=x^2$ عندما $x<2$ ، و $f(x)=3x-2$ عندما $x\ge2$ .

$f(2)=4$ . من اليسار $4$ ، ومن اليمين $4$ . الشروط الثلاثة متحققة، إذن $f$ متصلة عند $2$ .

مثال 3: $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ عندما $x\ne1$ ، و $g(1)=5$ . هل $g$ متصلة عند $1$ ؟

$\lim_{x\to1}g(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ ، بينما $g(1)=5$ . النهاية لا تساوي قيمة الدالة، فالدالة غير متصلة عند $1$ . ولو كانت $g(1)=2$ لأصبحت متصلة.

مثال 4: أوجد $k$ التي تجعل $f$ متصلة عند $x=3$ : $f(x)=kx+1$ عندما $x\le3$ ، و $f(x)=x^2-2$ عندما $x>3$ .

$f(3)=3k+1$ وهي أيضًا النهاية من اليسار، والنهاية من اليمين $9-2=7$ . الاتصال يتطلب $3k+1=7$ ، إذن $k=2$ .

مثال 5: أوجد $a$ لتكون $f$ متصلة عند $0$ : $f(x)=\frac{\sin 4x}{x}$ عندما $x\ne0$ ، و $f(0)=a$ .

$\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{x}=4$ ، فيجب أن يكون $a=4$ .

مثال 6: ابحث اتصال $f(x)=\sqrt{x-1}$ على الفترة $[1,5]$ .

الدالة متصلة عند كل نقطة من $(1,5]$ ، ومتصلة من اليمين عند $1$ لأن $\lim_{x\to1^{+}}\sqrt{x-1}=0=f(1)$ . إذن هي متصلة على $[1,5]$ .

ملاحظات مهمة

الشروط الثلاثة تُفحص بالترتيب؛ فإذا فشل أحدها فالدالة غير متصلة.
الدالة الكسرية غير متصلة عند أصفار المقام حتى لو كانت لها نهاية هناك.
في الدوال متعددة القاعدة ركّز على نقاط التحول.
لجعل دالة متصلة بتعديل قيمتها عند نقطة، اجعل قيمتها تساوي النهاية.

المفاهيم الأساسية

$f$ متصلة عند $a$ $\iff$ $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ (مع وجود الطرفين).
حالات عدم الاتصال: فجوة، ونقطة منفصلة، وقفزة.
الاتصال على $[a,b]$ يتطلب اتصالًا من اليمين عند $a$ ومن اليسار عند $b$ .
كثيرات الحدود والجيب وجيب التمام والدالة الأسية متصلة على $\mathbb{R}$ .

ملخص الدرس

الاتصال يعني أن منحنى الدالة لا ينقطع. ونفحصه عند نقطة بثلاثة أسئلة: هل الدالة معرّفة؟ هل لها نهاية؟ هل النهاية تساوي قيمتها؟ ومعظم الدوال المألوفة متصلة على مجالاتها، فيتركز البحث في الدوال الكسرية عند أصفار المقام، وفي الدوال متعددة القاعدة عند نقاط التحول.

أسئلة للتدريب

اذكر الشروط الثلاثة لاتصال دالة عند نقطة.
ابحث اتصال $f(x)=\frac{2x}{x^2-4x}$ على $\mathbb{R}$ .
ابحث اتصال $f$ عند $x=1$ حيث $f(x)=2x+1$ عندما $x<1$ ، و $f(x)=4-x$ عندما $x\ge1$ .
أوجد $a$ لتكون $f$ متصلة عند $x=-2$ : $f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$ عندما $x\ne-2$ ، و $f(-2)=a$ .
أوجد $m$ التي تجعل $f(x)=mx^2$ عندما $x\le2$ ، و $f(x)=x+m$ عندما $x>2$ متصلة على $\mathbb{R}$ .