ملخص العدد المركّب — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 3 — الأعداد المركّبة والمعادلات

المعادلة $x^{2} + 1 = 0$ ليس لها حل في الأعداد الحقيقية، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا. لكن الرياضيين ومهندسي الصوت والكهرباء احتاجوا إلى أعداد تحل مثل هذه المعادلات، فعرّفوا عددًا جديدًا مربعه $-1$ . بهذا العدد نبني الأعداد المركبة، ونحل أي معادلة تربيعية.

أهداف التعلم

أن تعرّف الوحدة التخيلية $i$ وتبسط قواها.
أن تحدد الجزأين الحقيقي والتخيلي لعدد مركب وتستخدم شرط تساوي عددين مركبين.
أن تجمع الأعداد المركبة وتطرحها وتضربها.
أن تستخدم المرافق لقسمة عددين مركبين.
أن تكتب الجذور التربيعية للأعداد السالبة بدلالة $i$ .

شرح الدرس

الوحدة التخيلية

نعرّف الوحدة التخيلية $i$ بأنها العدد الذي مربعه $-1$ : $i^{2} = -1$ (ويُرمز لها في الكتاب المدرسي العربي بالرمز «ت»). وقواها تتكرر كل أربع:

\begin{gathered} i^{1} = i \\ i^{2} = -1 \\ i^{3} = -i \\ i^{4} = 1 \end{gathered}

دائرة عليها قوى i الأربع: i أس 1 يساوي i، وi أس 2 يساوي سالب 1، وi أس 3 يساوي سالب i، وi أس 4 يساوي 1، والضرب في i ينقلنا من قوة إلى التالية، مع قاعدة: لإيجاد قوة للعدد i نقسم الأس على 4 ونأخذ الباقي

العدد المركب

العدد المركب عدد على الصورة $z = a + bi$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان؛ $a$ هو الجزء الحقيقي و $b$ هو الجزء التخيلي (لاحظ: الجزء التخيلي هو $b$ لا $bi$ ). إذا كان $b = 0$ فالعدد حقيقي، وإذا كان $a = 0$ و $b \ne 0$ فالعدد تخيلي بحت.

تساوي عددين مركبين: $a + bi = c + di$ إذا وفقط إذا كان $a = c$ و $b = d$ . فمعادلة واحدة بين عددين مركبين تعطينا معادلتين حقيقيتين.

الجمع والطرح والضرب

نجري العمليات كأن $i$ متغير جبري، ثم نعوض $i^{2} = -1$ :

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

\begin{aligned} &(a + bi)(c + di) \\ &= ac + adi + bci + bdi^{2} \\ &= (ac - bd) + (ad + bc)i \end{aligned}

المرافق والقسمة

مرافق العدد $z = a + bi$ هو $\bar{z} = a - bi$ . وحاصل ضرب عدد في مرافقه عدد حقيقي:

(a + bi)(a - bi) = a^{2} + b^{2}

لذلك نقسم عددين مركبين بضرب البسط والمقام في مرافق المقام، فيصبح المقام حقيقيًّا.

الجذور التربيعية للأعداد السالبة

لكل عدد حقيقي موجب $k$ : $\sqrt{-k} = \sqrt{k}\,i$ ، والجذران التربيعيان لـ $-k$ هما $\pm\sqrt{k}\,i$ . تنبيه: القاعدة $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ لا تصح إذا كان العددان سالبين؛ فـ $\sqrt{-4}\sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6i^{2} = -6$ وليس $\sqrt{36} = 6$ . لذلك نحوّل إلى الصورة $\sqrt{k}\,i$ أولًا ثم نضرب.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (قوى i): $i^{23}$ : الباقي من قسمة 23 على 4 هو 3، فيكون $i^{23} = i^{3} = -i$ . و $i^{100} = (i^{4})^{25} = 1$ .

مثال 2 (تساوي عددين): أوجد العددين الحقيقيين $x$ و $y$ إذا كان $(2x - 1) + (y + 3)i = 5 - 2i$ . بمساواة الجزأين: $2x - 1 = 5$ فيكون $x = 3$ ، و $y + 3 = -2$ فيكون $y = -5$ .

مثال 3 (ضرب):

\begin{aligned} &(3 + 2i)(1 - 4i) \\ &= 3 - 12i + 2i - 8i^{2} \\ &= 3 - 10i + 8 \\ &= 11 - 10i \end{aligned}

مثال 4 (قسمة):

\begin{aligned} \frac{5 + i}{2 - 3i} &= \frac{(5 + i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} \\ &= \frac{10 + 15i + 2i + 3i^{2}}{4 + 9} \\ &= \frac{7 + 17i}{13} \\ &= \frac{7}{13} + \frac{17}{13}i \end{aligned}

مثال 5 (جذور سالبة): $\sqrt{-12} = \sqrt{12}\,i = 2\sqrt{3}\,i$ ، والجذران التربيعيان لـ $-25$ هما $\pm 5i$ ، وحل $x^{2} = -16$ هو $x = \pm 4i$ .

مثال 6 (مربع عدد مركب): $(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i$ ، فيكون $(1 + i)^{8} = (2i)^{4} = 16 i^{4} = 16$ .

ملاحظات مهمة

الجزء التخيلي لـ $4 - 7i$ هو $-7$ (عدد حقيقي)، لا $-7i$ .
لا تنسَ $i^{2} = -1$ عند الضرب؛ الخطأ الشائع ترك $i^{2}$ دون تعويض.
اكتب الناتج النهائي دائمًا في الصورة القياسية $a + bi$ .
عند ضرب جذور أعداد سالبة، اكتب كلًّا منها بدلالة $i$ قبل الضرب.

المفاهيم الأساسية

$i^{2} = -1$ ، وقوى $i$ تتكرر كل أربع: $i, -1, -i, 1$ .
$z = a + bi$ : الجزء الحقيقي $a$ والتخيلي $b$ .
$a + bi = c + di \iff a = c$ و $b = d$ .
المرافق $\bar{z} = a - bi$ ، و $z\bar{z} = a^{2} + b^{2}$ .
القسمة: اضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
$\sqrt{-k} = \sqrt{k}\,i$ لكل $k > 0$ .

ملخص الدرس

أضفنا إلى الأعداد الحقيقية الوحدة التخيلية $i$ التي مربعها $-1$ ، فتكونت الأعداد المركبة $a + bi$ . نجمعها ونطرحها بجمع الأجزاء المتناظرة، ونضربها كالمقادير الجبرية مع تعويض $i^{2} = -1$ ، ونقسمها بالضرب في مرافق المقام. ويتساوى عددان مركبان عندما يتساوى جزآهما الحقيقيان وجزآهما التخيليان، وتصبح للأعداد السالبة جذور تربيعية على الصورة $\pm\sqrt{k}\,i$ .

أسئلة للتدريب

بسّط $i^{35}$ و $i^{48}$ و $i^{7} + i^{9}$ .
أوجد $x$ و $y$ الحقيقيين إذا كان $(x + y) + (x - y)i = 6 + 2i$ .
أوجد في الصورة $a + bi$ : $(4 - i)(2 + 5i)$ .
أوجد $\frac{3 - 4i}{1 + 2i}$ في الصورة $a + bi$ .
احسب $\sqrt{-2} \times \sqrt{-8}$ ، وبيّن لماذا لا يساوي $\sqrt{16}$ .