أهداف التعلم

• أن تجد إحداثي نقطة تقسم قطعة من الداخل أو من الخارج بنسبة معلومة.
• أن تحدد الربع الذي تقع فيه نقطة، وتجد النقاط المتماثلة حول المحورين ونقطة الأصل ونقطة معلومة.
• أن تحسب المسافة بين نقطتين وتجد نقطة على محور أو مستقيم تبعد بعدين متساويين عن نقطتين.
• أن تجد إحداثيات المنتصف ونقطة تقاطع متوسطات المثلث.

شرح الدرس

على خط الأعداد

إذا كانت $A(a)$ و $B(b)$ على خط الأعداد فإن $AB = |b - a|$. والنقطة $P$ التي تقع على القطعة $AB$ بحيث $AP : PB = m : n$ تقسمها من الداخل، والنقطة $Q$ التي تقع على امتداد $AB$ بحيث $AQ : QB = m : n$ (حيث $m \ne n$) تقسمها من الخارج:

انتبه لترتيب الضرب: $n$ تُضرب في إحداثي $A$، و $m$ تُضرب في إحداثي $B$.

الأرباع والتماثل

المحوران يقسمان المستوى إلى أربعة أرباع (والنقاط على المحورين لا تنتمي لأي ربع): الأول $(+, +)$، الثاني $(-, +)$، الثالث $(-, -)$، الرابع $(+, -)$. ولنقطة $(a, b)$:

المسافة بين نقطتين

المسافة بين $A(x_1, y_1)$ و $B(x_2, y_2)$ (من نظرية فيثاغورس):

ولإيجاد نقطة تبعد بعدين متساويين عن نقطتين نفرض إحداثياتها حسب الشرط: على محور $x$ نفرضها $(s, 0)$، وعلى محور $y$ نفرضها $(0, t)$، وعلى المستقيم $y = ax + b$ نفرضها $(s, as + b)$. ثم نساوي مربعي المسافتين.

نقاط التقسيم في المستوى

للنقطتين $A(x_1, y_1)$ و $B(x_2, y_2)$ ونسبة $m : n$:

والمنتصف حالة خاصة ($1 : 1$): $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$. ونقطة تقاطع متوسطات المثلث $ABC$:

التماثل حول نقطة

تكون $B$ و $C$ متماثلتين حول النقطة $A$ إذا وفقط إذا كانت $A$ منتصف $BC$. لذلك نفرض النقطة المطلوبة $(s, t)$ ونساوي إحداثيي المنتصف بإحداثيي $A$.

أسئلة للتدريب

1. أوجد النقطة التي تقسم القطعة من $A(-3)$ إلى $B(9)$ على خط الأعداد من الداخل بنسبة $1 : 2$، ومن الخارج بنسبة $1 : 2$.
2. أوجد المسافة بين $A(2, -3)$ و $B(-3, 9)$.
3. أوجد النقطة على محور $x$ التي تبعد بعدين متساويين عن $A(1, 3)$ و $B(5, 1)$.
4. للنقطتين $A(-2, 1)$ و $B(4, 7)$ أوجد النقطة التي تقسم $AB$ من الداخل بنسبة $2 : 1$، ومن الخارج بنسبة $2 : 1$.
5. أوجد النقطة المتماثلة مع $A(-3, 5)$ حول النقطة $P(1, 2)$.