ملخص الحركة الدائرية المنتظمة والقوة المركزية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الأول: الميكانيكا (القوى والحركة)

أدِر كرة مربوطة بخيط في دائرة أفقية فوق رأسك: ستشعر بأن يدك تشد الخيط إلى الداخل طوال الوقت. لو انقطع الخيط فجأة، في أي اتجاه تنطلق الكرة؟ يظن كثيرون أنها تنطلق إلى الخارج على امتداد نصف القطر، لكن التجربة تقول غير ذلك. في هذا الدرس نصف الحركة الدائرية ونفهم لماذا تحتاج دائمًا إلى قوة نحو المركز.

أهداف التعلم

أن تحسب الزمن الدوري والتردد والسرعة الزاوية والسرعة الخطية لجسم في حركة دائرية منتظمة.
أن تفسر لماذا يتسارع الجسم رغم ثبات مقدار سرعته، وتحسب العجلة المركزية.
أن تحدد القوة التي توفر القوة المركزية في مواقف مختلفة.
أن تفسر لماذا لا توجد قوة «طاردة» تؤثر في الجسم نحو الخارج.

شرح الدرس

وصف الحركة الدائرية المنتظمة

الحركة الدائرية المنتظمة حركة جسم على دائرة بسرعة ثابتة المقدار. نصفها بالكميات الآتية:

السرعة الزاوية $\omega$ : الزاوية التي يمسحها نصف القطر في وحدة الزمن، بوحدة راديان/ثانية: $\omega = \frac{\theta}{t}$ .
الزمن الدوري $T$ : زمن دورة كاملة، والتردد $f$ : عدد الدورات في الثانية (بالهرتز):

T = \frac{2\pi}{\omega} \qquad f = \frac{1}{T}

السرعة الخطية: طول القوس $l = r\theta$ ، فتكون:

v = \frac{l}{t} = r\omega = \frac{2\pi r}{T}

لماذا يتسارع الجسم؟

السرعة متجهة؛ فهي تتغير إذا تغير اتجاهها حتى لو ثبت مقدارها. في الحركة الدائرية يدور متجه السرعة باستمرار، فيكون للجسم عجلة دائمًا. خلال زمن قصير $\Delta t$ يدور متجه السرعة بزاوية صغيرة $\Delta\theta = \omega\Delta t$ مع بقاء طوله $v$ ، فيكون التغير في السرعة $\Delta v = v\Delta\theta$ ومتجهًا نحو المركز. بالقسمة على $\Delta t$ نحصل على العجلة المركزية:

a_c = v\omega = r\omega^{2} = \frac{v^{2}}{r}

القوة المركزية

بحسب قانون نيوتن الثاني تحتاج هذه العجلة إلى قوة محصلة في اتجاهها، أي نحو المركز، تسمى القوة المركزية:

F = m a_c = \frac{m v^{2}}{r} = m r \omega^{2}

القوة المركزية ليست نوعًا جديدًا من القوى؛ بل هي اسم لمحصلة القوى الحقيقية المتجهة نحو المركز: الشد في الخيط، أو احتكاك الإطارات بالطريق في المنعطف، أو قوة الزنبرك، أو الجاذبية في حالة الأقمار الصناعية.

دائرة عليها جسم في ثلاثة مواضع، عند كل موضع سهم أخضر للسرعة مماس للدائرة وسهم أحمر للقوة المركزية يتجه نحو المركز، وخط برتقالي متقطع يبين أن الجسم يتحرك في خط مستقيم مماس إذا قُطع الخيط

لا توجد قوة طاردة

عند قطع الخيط تختفي القوة المركزية، فيتحرك الجسم بسرعته في تلك اللحظة، أي في خط مستقيم مماس للدائرة، لا في اتجاه نصف القطر إلى الخارج. الإحساس بأنك «تُدفع» للخارج في سيارة تنعطف سببه أن جسمك يميل إلى الاستمرار في خط مستقيم بينما تنعطف السيارة من تحتك، وليس قوة حقيقية تشدك للخارج.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: جسم يدور 15 دورة في 6 ث على دائرة نصف قطرها 0.30 م.

الزمن الدوري $T = \frac{6}{15} = 0.40$ ث، والتردد $f = \frac{1}{0.40} = 2.5$ هرتز.
السرعة الزاوية $\omega = \frac{2\pi}{0.40} \approx 15.7$ راديان/ث.
السرعة الخطية $v = r\omega = 0.30 \times 15.7 \approx 4.7$ م/ث.
العجلة المركزية $a_c = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4.7^{2}}{0.30} \approx 74$ م/ث².

مثال 2 (زنبرك يوفر القوة المركزية): كرة كتلتها 0.40 كجم مربوطة بزنبرك ثابته 40 نيوتن/م وطوله الطبيعي 0.20 م، تدور على سطح أفقي أملس فيصبح طول الزنبرك 0.25 م.

قوة الزنبرك: $F = kx = 40 \times 0.05 = 2.0$ نيوتن، وهي القوة المركزية الوحيدة.
نصف قطر الدائرة هو الطول بعد الاستطالة: $r = 0.25$ م. ومن $\frac{mv^{2}}{r} = F$ : $v^{2} = \frac{2.0 \times 0.25}{0.40} = 1.25$ ، فتكون $v \approx 1.1$ م/ث.
العجلة المركزية $a_c = \frac{F}{m} = \frac{2.0}{0.40} = 5.0$ م/ث².

مثال 3 (سيارة في منعطف): سيارة كتلتها 1000 كجم تنعطف بسرعة 15 م/ث في منحنى أفقي نصف قطره 75 م. القوة المركزية اللازمة $\frac{1000 \times 15^{2}}{75} = 3000$ نيوتن، ويوفرها الاحتكاك بين الإطارات والطريق؛ فإذا كان الطريق زلقًا لا يوفر هذه القوة انزلقت السيارة في خط أقرب إلى المماس.

ملاحظات مهمة

استخدم الزوايا بالراديان في $\omega$ ؛ الدورة الكاملة $2\pi$ راديان.
القوة المركزية محصلة القوى نحو المركز، فلا ترسمها سهمًا إضافيًّا في مخطط الجسم الحر بجانب الشد أو الاحتكاك.
العجلة المركزية لا تغير مقدار السرعة لأنها عمودية على السرعة دائمًا؛ تغير الاتجاه فقط.
إذا تضاعفت السرعة مع ثبات نصف القطر تتضاعف القوة المركزية اللازمة أربع مرات لأنها تتناسب مع $v^{2}$ .

المفاهيم الأساسية

$\omega = \theta / t$ ، $T = 2\pi/\omega$ ، $f = 1/T$ ، $v = r\omega = 2\pi r/T$ .
العجلة المركزية $a_c = v^{2}/r = r\omega^{2}$ نحو المركز.
القوة المركزية $F = mv^{2}/r$ ، وهي محصلة القوى الحقيقية نحو المركز.
عند زوال القوة المركزية يتحرك الجسم في خط مستقيم مماس للدائرة.

ملخص الدرس

الجسم في الحركة الدائرية المنتظمة يحتفظ بمقدار سرعته، لكن اتجاه سرعته يتغير باستمرار، فله عجلة مركزية مقدارها $v^{2}/r$ نحو المركز. ولتحقيق هذه العجلة يلزم أن تكون محصلة القوى المؤثرة فيه نحو المركز ومقدارها $mv^{2}/r$ ، وقد يوفرها شد أو احتكاك أو جاذبية. وإذا زالت هذه القوة انطلق الجسم مماسيًّا، فلا توجد قوة طاردة حقيقية.

أسئلة للتدريب

جسم يدور 12 دورة في 4 ث على دائرة نصف قطرها 0.50 م. احسب الزمن الدوري والتردد والسرعة الزاوية والسرعة الخطية.
كرة تدور في دائرة أفقية نصف قطرها 0.30 م بزمن دوري 0.60 ث. احسب سرعتها الخطية وعجلتها المركزية.
ما الذي يوفر القوة المركزية لقمر صناعي يدور حول الأرض؟ ولسيارة تنعطف في طريق أفقي؟
كرة كتلتها 0.5 كجم تدور بسرعة 3 م/ث على دائرة نصف قطرها 0.9 م. احسب القوة المركزية.
فسّر لماذا تنطلق قطرات الماء مماسيًّا من حافة مظلة تدور.