ملخص البندول الزنبركي — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الثاني: الحركة الاهتزازية والموجات

يعلّق البائع كيس برتقال في ميزان زنبركي معلق، فينخفض المؤشر ويتجاوز القراءة ثم يهتز لأعلى ولأسفل حول قراءة جديدة قبل أن يستقر. لو وضع الكيس نفسه على منضدة لما اهتز. هل تغيّر الجاذبية الزمن الدوري للزنبرك الرأسي مقارنة بالأفقي؟ وماذا يحدث لسرعة الجسم وعجلته إذا شددناه مسافة أكبر؟

أهداف التعلم

أن تحسب الزمن الدوري للبندول الزنبركي من $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ .
أن تبين أن الزنبرك الرأسي له الزمن الدوري نفسه للأفقي عند اختيار موضع الاتزان مرجعًا.
أن تحسب السرعة العظمى والعجلة العظمى وتحدد موضعيهما.
أن تحسب زمن انتقال الجسم من الطرف إلى المركز.

شرح الدرس

معادلة الحركة والزمن الدوري

القوة التي تعيد الجسم إلى المركز عكس إزاحته: $F = -kx$ حيث $k > 0$ ، فتكون معادلة الحركة $ma = -kx$ . أي جسم معادلة حركته بهذه الصورة يتحرك حركة توافقية بسيطة، و:

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

ولأن العلاقة لا تحوي السعة، فالزمن الدوري لا يعتمد على مقدار الشد الابتدائي.

السرعة والعجلة: ما الذي تغيّره السعة؟

زيادة السعة لا تغير الزمن الدوري، لكنها تغير بقية الحركة:

السرعة $v = A\omega\cos\omega t$ (لجسم يمر بالمركز عند $t = 0$ ): أكبر ما يمكن عند المركز $v_{\max} = A\omega$ ، وصفر عند الطرفين.
العجلة $a = -\omega^{2}x$ : صفر عند المركز، وأكبر ما يمكن عند الطرفين $a_{\max} = \omega^{2}A$ .
ومن أي موضع: $v = \pm\omega\sqrt{A^{2} - x^{2}}$ .

فالسعة الأكبر تعني مرورًا أسرع بالمركز وارتدادًا أشد عند الطرفين، في الزمن الدوري نفسه.

توقيت الاهتزازة

بالتماثل، كل انتقال بين طرف والمركز يستغرق ربع الزمن الدوري؛ فالجسم المتروك من طرف يصل إلى المركز أول مرة بعد:

t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}

الزنبرك الرأسي

عند تعليق كتلة في زنبرك رأسي يستطيل الزنبرك أولًا حتى يتزن الوزن مع قوة الزنبرك عند موضع الاتزان $O$ :

k x_0 = mg \Rightarrow x_0 = \frac{mg}{k}

إذا قسنا الإزاحة $x$ من $O$ (لا من نهاية الطول الطبيعي)، يلغي الوزن الجزء $kx_0$ من قوة الزنبرك، فتبقى القوة المحصلة $F = -kx$ بالصورة نفسها. إذن الجاذبية تغيّر موضع الاتزان فقط، ولا تغيّر الزمن الدوري: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ للزنبرك الرأسي والأفقي.

ثلاثة زنبركات رأسية: الأول بلا ثقل عند طوله الطبيعي، والثاني يحمل كتلة ومتزن عند الموضع O بعد استطالة x صفر تساوي mg على k، والثالث مشدود لأسفل عن O بمقدار السعة A، مع خطوط أفقية متقطعة للطول الطبيعي وموضع الاتزان وأقصى إزاحة

ومن حالاته الشائعة: إذا رُفع الجسم حتى يعود الزنبرك إلى طوله الطبيعي ثم تُرك من السكون، فإنه يبدأ على بعد $x_0$ فوق $O$ ، فتكون السعة $A = x_0$ ، وأخفض نقطة يبلغها تكون عند استطالة $2x_0$ .

أمثلة وتطبيقات

نستخدم $g = 9.8$ م/ث².

مثال 1 (زنبرك أفقي): كتلة 0.50 كجم على زنبرك ثابته 20 نيوتن/م، شُدّت 0.10 م من موضع الاتزان وتُركت.

$\omega = \sqrt{\frac{20}{0.50}} = \sqrt{40} \approx 6.3$ راديان/ث، و $T = \frac{2\pi}{6.3} \approx 1.0$ ث.
$v_{\max} = A\omega = 0.10 \times 6.3 \approx 0.63$ م/ث عند المركز.
$a_{\max} = \omega^{2}A = 40 \times 0.10 = 4.0$ م/ث² عند الطرفين.
يصل إلى المركز أول مرة بعد $\frac{T}{4} \approx 0.25$ ث.

مثال 2 (الزنبرك نفسه رأسيًّا): نعلق الكتلة نفسها في الزنبرك نفسه رأسيًّا.

استطالة موضع الاتزان: $x_0 = \frac{0.50 \times 9.8}{20} = 0.245$ م.
الزمن الدوري كما هو: $T \approx 1.0$ ث.
إذا رُفعت الكتلة إلى نهاية الطول الطبيعي وتُركت: $A = x_0 = 0.245$ م، و $v_{\max} = A\omega \approx 0.245 \times 6.3 \approx 1.5$ م/ث، وأخفض نقطة عند استطالة $0.49$ م.

مثال 3 (مضاعفة الزمن الدوري): لمضاعفة الزمن الدوري مع ثبات الزنبرك يجب أن تصبح الكتلة أربعة أمثالها، لأن $T \propto \sqrt{m}$ .

ملاحظات مهمة

الإزاحة الابتدائية هي السعة؛ تحدد $v_{\max}$ و $a_{\max}$ ولا تحدد $T$ .
في الزنبرك الرأسي قِس الإزاحة من موضع الاتزان $O$ لا من الطول الطبيعي.
التعويض في $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ يكون بالكيلوجرام والنيوتن/متر.
لا تخلط بين البندول الزنبركي والبندول البسيط: الأول يعتمد على $m$ و $k$ ، والثاني على $L$ و $g$ .

المفاهيم الأساسية

$T = 2\pi\sqrt{m/k}$ لا يعتمد على السعة ولا على الجاذبية.
$v_{\max} = A\omega$ عند المركز، و $a_{\max} = \omega^{2}A$ عند الطرفين.
$v = \pm\omega\sqrt{A^{2} - x^{2}}$ .
من الطرف إلى المركز: $\frac{T}{4}$ .
الزنبرك الرأسي: $x_0 = mg/k$ ، والاهتزاز حول $O$ .

ملخص الدرس

الكتلة المعلقة بزنبرك تتحرك حركة توافقية بسيطة زمنها الدوري $2\pi\sqrt{m/k}$ ، ولا يتأثر هذا الزمن بالسعة ولا بالجاذبية؛ فالجاذبية في الزنبرك الرأسي تنقل موضع الاتزان إلى أسفل بمقدار $mg/k$ فقط. أما السعة فتحدد السرعة العظمى $A\omega$ عند المركز والعجلة العظمى $\omega^{2}A$ عند الطرفين، ويستغرق كل انتقال بين طرف والمركز ربع الزمن الدوري.

أسئلة للتدريب

كتلة 0.20 كجم على زنبرك ثابته 80 نيوتن/م شُدّت 0.040 م من موضع الاتزان. احسب السرعة العظمى وزمن وصولها إلى المركز أول مرة.
زنبرك ثابته 40 نيوتن/م يحمل كتلة 1.0 كجم رأسيًّا. احسب استطالته عند الاتزان وزمنه الدوري.
لماذا لا يتغير الزمن الدوري عندما نزيد شد الزنبرك الابتدائي؟
أين تكون عجلة الجسم أكبر ما يمكن؟ وأين تكون سرعته أكبر ما يمكن؟
كم تصبح الكتلة لكي يصبح الزمن الدوري نصف قيمته مع ثبات الزنبرك؟