ملخص البندول البسيط — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الثاني: الحركة الاهتزازية والموجات

أرجوحتان متجاورتان معلقتان من العارضة نفسها بحبلين متساويين، يجلس على إحداهما طفل صغير وعلى الأخرى أخوه الأثقل. تُتركان معًا، فتبقيان متجاورتين اهتزازة بعد اهتزازة! أما أرجوحة النادي ذات الحبل الأطول فتستغرق زمنًا أطول لتكمل اهتزازتها. هل تؤثر كتلة الجالس أو قوة الدفعة الأولى في زمن الاهتزاز؟

أهداف التعلم

أن تحدد القوة الرادة في البندول البسيط وتحللها.
أن تستخدم تقريب الزاوية الصغيرة لتبين أن حركة البندول توافقية بسيطة تقريبًا.
أن تحسب الزمن الدوري من $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ .
أن تفسر لماذا لا يعتمد الزمن الدوري على الكتلة ولا على السعة الصغيرة، وتستخدم البندول لقياس $g$ .

شرح الدرس

البندول البسيط

البندول البسيط ثقل صغير كثيف معلق من نقطة ثابتة بخيط خفيف غير قابل للاستطالة. تؤثر في الثقل قوتان: الوزن $mg$ رأسيًّا لأسفل، والشد في اتجاه الخيط.

القوة الرادة

عند إزاحة الثقل بزاوية $\theta$ عن الرأسي نحلل الوزن إلى مركبتين: مركبة على امتداد الخيط، ومركبة مماسية للقوس مقدارها $mg\sin\theta$ . المركبة المماسية وحدها تعيد الثقل نحو أخفض نقطة $O$ ، فهي القوة الرادة:

F = -mg\sin\theta

بندول بسيط طول خيطه L مزاح بزاوية ثيتا عن الرأسي؛ على الثقل سهم أحمر للوزن لأسفل، وسهم بنفسجي للشد على امتداد الخيط، وسهم أخضر للمركبة المماسية للوزن mg جا ثيتا يتجه على القوس نحو أخفض نقطة O

تقريب الزاوية الصغيرة

للزوايا الصغيرة (مقيسة بالراديان) يكون $\sin\theta \approx \theta$ . وإزاحة الثقل على القوس $s = L\theta$ ، أي $\theta = \frac{s}{L}$ . إذن:

F \approx -mg\theta = -\frac{mg}{L}\,s

فالقوة الرادة تتناسب مع الإزاحة وعكسها، والحركة توافقية بسيطة تقريبًا بثابت فعال $k = \frac{mg}{L}$ .

الزمن الدوري: الكتلة تختصر

بالتعويض عن $k$ في $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ :

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/L}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

الكتلة تظهر في البسط والمقام فتختصر؛ لذلك لا يعتمد الزمن الدوري على كتلة الثقل، ويعتمد فقط على طول الخيط وشدة مجال الجاذبية. ولم تدخل السعة في الاشتقاق، فالزمن الدوري للاهتزازات الصغيرة مستقل عن السعة أيضًا، وهي خاصية «تساوي أزمنة الاهتزاز» التي اكتشفها جاليليو.

قياس عجلة الجاذبية

من العلاقة نفسها: $g = \frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$ . نقيس زمن عدد كبير من الاهتزازات (مثل 20 اهتزازة) ثم نقسم على العدد، فيقل أثر خطأ بدء الساعة وإيقافها.

أمثلة وتطبيقات

نستخدم $g = 9.8$ م/ث².

مثال 1: بندول طوله 1.0 م: $T = 2\pi\sqrt{\frac{1.0}{9.8}} \approx 2.0$ ث.

مثال 2 (أثر الطول): لكي يصبح الزمن الدوري 1.0 ث: $L = \frac{g T^{2}}{4\pi^{2}} = \frac{9.8 \times 1}{39.5} \approx 0.25$ م. لاحظ أن تقليل الطول إلى الربع نصّف الزمن الدوري، لأن $T \propto \sqrt{L}$ .

مثال 3 (قياس $g$ ): بندول طوله 0.56 م أتم 20 اهتزازة في 30 ث، فزمنه الدوري 1.5 ث، و:

\begin{aligned} g &= \frac{4\pi^{2} \times 0.56}{1.5^{2}} \\ &= \frac{39.5 \times 0.56}{2.25} \\ &\approx 9.8 \end{aligned}

مثال 4 (على سطح القمر): شدة الجاذبية على القمر نحو 1.6 نيوتن/كجم. البندول الذي طوله 1.0 م يصبح زمنه الدوري $2\pi\sqrt{\frac{1.0}{1.6}} \approx 5.0$ ث؛ أي أبطأ منه على الأرض بنحو مرتين ونصف.

ملاحظات مهمة

العلاقة $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ تقريبية وتصلح للزوايا الصغيرة فقط (نحو 10° أو أقل)؛ عند الزوايا الكبيرة يزيد الزمن الدوري قليلًا.
$L$ هو الطول من نقطة التعليق إلى مركز الثقل.
الإزاحة على القوس $s$ تُقاس من أخفض نقطة $O$ ، والقوة الرادة صفر عند $O$ .
بندول يُستخدم على قمة جبل (حيث $g$ أصغر قليلًا) يكون زمنه الدوري أكبر قليلًا.

المفاهيم الأساسية

القوة الرادة: $F = -mg\sin\theta$ (المركبة المماسية للوزن).
للزوايا الصغيرة: $F \approx -\frac{mg}{L}s$ ، فالحركة توافقية بسيطة تقريبًا.
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ : يعتمد على $L$ و $g$ فقط.
لا يعتمد الزمن الدوري على الكتلة ولا على السعة الصغيرة.
$g = 4\pi^{2}L / T^{2}$ .

ملخص الدرس

القوة التي تعيد البندول البسيط إلى موضع اتزانه هي المركبة المماسية لوزنه. وعندما تكون الزاوية صغيرة تتناسب هذه القوة مع الإزاحة على القوس، فتصبح الحركة توافقية بسيطة زمنها الدوري $2\pi\sqrt{L/g}$ . تختصر الكتلة من العلاقة، ولا تدخل السعة فيها، فيتحدد زمن البندول بطول خيطه وبشدة الجاذبية فقط؛ ولذلك نستخدمه لقياس عجلة الجاذبية.

أسئلة للتدريب

احسب الزمن الدوري لبندول طوله 0.40 م.
إذا زاد طول البندول إلى أربعة أمثاله، ماذا يحدث لزمنه الدوري؟
بندولان متساويان في الطول، ثقل أحدهما ضعف الآخر، أُزيحا بزاويتين صغيرتين مختلفتين. قارن بين زمنيهما الدوريين.
بندول طوله 0.64 م أتم 20 اهتزازة في 32 ث. احسب قيمة $g$ .
لماذا لا تصح العلاقة $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ لبندول أُزيح بزاوية 60°؟