أهداف التعلم

• أن يصنف الطالب المثلثات حسب أطوال أضلاعها (مختلف الأضلاع، متساوي الساقين، متساوي الأضلاع).
• أن يصنف الطالب المثلثات حسب قياسات زواياها (حاد الزوايا، قائم الزاوية، منفرج الزاوية).
• أن يستنتج الطالب أن مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي $180°$.
• أن يستخدم الطالب نظرية الزاوية الخارجية للمثلث في حل المسائل.
• أن يطبق الطالب متباينة المثلث للتحقق من إمكانية بناء مثلث بأطوال أضلاع معطاة.

شرح الدرس

تصنيف المثلثات حسب الأضلاع

• مثلث مختلف الأضلاع: جميع أضلاعه الثلاثة مختلفة في الطول.
• مثلث متساوي الساقين: له ضلعان متساويان في الطول (يسميان الساقين)، والضلع الثالث يسمى القاعدة.
• مثلث متساوي الأضلاع: أضلاعه الثلاثة متساوية في الطول (وتكون زواياه الثلاث متساوية أيضًا، كل منها $60°$).

تصنيف المثلثات حسب الزوايا

• مثلث حاد الزوايا: جميع زواياه الثلاث حادة (أقل من $90°$).
• مثلث قائم الزاوية: إحدى زواياه قائمة ($90°$ بالضبط).
• مثلث منفرج الزاوية: إحدى زواياه منفرجة (أكبر من $90°$).

نظرية مجموع زوايا المثلث

النظرية: مجموع قياسات الزوايا الداخلية الثلاث لأي مثلث يساوي $180°$:

وتُستخدم هذه النظرية لإيجاد قياس زاوية مجهولة في المثلث إذا عُلمت قياسا الزاويتين الأخريين، وذلك بطرح مجموعهما من $180°$.

نظرية الزاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تتكوّن من امتداد أحد أضلاعه مع الضلع المجاور له. النظرية: قياس الزاوية الخارجية عند أحد رؤوس المثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها (البعيدتين عنها):

حيث $\angle_{\text{ext}}$ الزاوية الخارجية، و$\angle_1$ و$\angle_2$ الزاويتان الداخليتان البعيدتان عنها.

ويمكن استنتاج هذه النظرية مباشرة من كون الزاوية الخارجية مكمّلة للزاوية الداخلية المجاورة لها (مجموعهما $180°$ لوقوعهما على خط مستقيم)، مع نظرية مجموع زوايا المثلث ($180°$).

متباينة المثلث

متباينة المثلث تنص على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث، وذلك لكل الأزواج الثلاثة من الأضلاع:

وتُستخدم هذه الخاصية للتحقق من إمكانية تكوين مثلث فعلي من ثلاثة أطوال معطاة؛ فإذا لم تتحقق إحدى هذه المتباينات، فلا يمكن بناء مثلث بهذه الأطوال (الأضلاع الثلاثة لن “تلتقي” لتشكل مثلثًا مغلقًا).

أسئلة للتدريب

• مثلث قياس إحدى زواياه $90°$ والأخرى $35°$، أوجد قياس الزاوية الثالثة وصنّف المثلث حسب زواياه وأضلاعه إن أمكن.
• مثلث متساوي الساقين قياس زاوية القمة فيه $40°$، أوجد قياس كل من الزاويتين الأخريين (المتساويتين).
• في مثلث $ABC$، الزاوية الخارجية عند $B$ تساوي $130°$، وقياس الزاوية عند $C$ يساوي $55°$. أوجد قياس الزاوية عند $A$.
• هل يمكن تكوين مثلث أطوال أضلاعه 6 سم، 7 سم، 8 سم؟ وضح باستخدام متباينة المثلث.
• مثلث متساوي الأضلاع، أوجد قياس كل زاوية فيه، ووضح السبب.