أهداف التعلم

• أن يعرّف الطالب المضلع المحدب ويسمي أنواعه حسب عدد الأضلاع.
• أن يميز الطالب بين المضلع المنتظم وغير المنتظم.
• أن يستنتج الطالب قانون مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب من $n$ ضلعًا.
• أن يستنتج الطالب أن مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي $360°$.
• أن يحسب الطالب قياس الزاوية الداخلة والخارجة في المضلع المنتظم.

شرح الدرس

تعريف المضلع وأنواعه

المضلع هو شكل هندسي مستوٍ مغلق تتكون حدوده من قطع مستقيمة (أضلاع) لا تتقاطع فيما بينها إلا عند رؤوس متتالية. يُسمى المضلع حسب عدد أضلاعه: المثلث (3)، الرباعي (4)، الخماسي (5)، السداسي (6)، السباعي (7)، الثماني (8)، التساعي (9)، العشاري (10). ويكون المضلع محدبًا إذا كانت جميع زواياه الداخلية أصغر من $180°$ (بمعنى أنه لا يوجد “تجويف” للداخل في أي رأس من رؤوسه).

المضلع المنتظم

المضلع المنتظم هو مضلع محدب متساوي الأضلاع (جميع أضلاعه متساوية في الطول) ومتساوي الزوايا (جميع زواياه الداخلية متساوية في القياس) في آن واحد، مثل المثلث متساوي الأضلاع والمربع والخماسي المنتظم.

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب

النظرية: مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب عدد أضلاعه $n$ يُعطى بالقانون:

حيث $S$ مجموع قياسات الزوايا الداخلية. ويمكن استنتاج هذا القانون بتقسيم المضلع إلى مثلثات برسم جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد؛ فعدد المثلثات الناتجة يكون دائمًا $(n-2)$، ومجموع زوايا كل مثلث $180°$. فمثلًا الرباعي ($n=4$): $(4-2)\times180°=360°$، والخماسي ($n=5$): $(5-2)\times180°=540°$.

مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب

النظرية: مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب (بأخذ زاوية خارجية واحدة عند كل رأس) يساوي دائمًا $360°$، بصرف النظر عن عدد أضلاعه:

حيث $E$ مجموع قياسات الزوايا الخارجية. ويرتبط ذلك بأن الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المتجاورتان عند أي رأس متكاملتان (مجموعهما $180°$).

زوايا المضلع المنتظم

بما أن جميع الزوايا الداخلية في المضلع المنتظم متساوية، يمكن حساب قياس الزاوية الداخلية الواحدة بقسمة المجموع الكلي على عدد الأضلاع:

حيث $\alpha$ قياس الزاوية الداخلية الواحدة. وبالمثل، تكون كل زاوية خارجية في المضلع المنتظم:

حيث $\beta$ قياس الزاوية الخارجية الواحدة. ويمكن أيضًا إيجاد عدد أضلاع مضلع منتظم إذا عُلم قياس زاويته الخارجية باستخدام:

أسئلة للتدريب

• أوجد مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب تساعي (9 أضلاع).
• أوجد قياس الزاوية الداخلية في المضلع المنتظم السداسي (6 أضلاع).
• مضلع منتظم قياس زاويته الخارجية $20°$، أوجد عدد أضلاعه وقياس زاويته الداخلية.
• إذا كان مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب يساوي $1260°$، أوجد عدد أضلاعه.
• وضّح لماذا لا يمكن أن يكون مضلع منتظم عدد أضلاعه 3 له زاوية داخلية قياسها $100°$.