ملخص الزوايا المنتسبة — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات — البند 4-4

كيف نحسب $\cos 120^\circ$ أو $\sin 210^\circ$ دون آلة حاسبة؟ الفكرة أن نقطة الضلع النهائي لهذه الزوايا على دائرة الوحدة هي صورة بالانعكاس لنقطة زاوية حادة نعرف قيمها. فتكون القيم متساوية في المقدار، وقد تختلف في الإشارة فقط.

أهداف التعلم

أن تعرّف الزاويتين المنتسبتين.
أن تستخدم العلاقات بين الدوال المثلثية للزوايا $180^\circ \pm \theta$ و $360^\circ - \theta$ و $-\theta$ .
أن تستخدم العلاقات بين الدوال المثلثية للزوايا $90^\circ \pm \theta$ و $270^\circ \pm \theta$ .
أن توجد الحل العام لمعادلات مثلثية على الصورة $\sin\alpha = \cos\beta$ .

شرح الدرس

الزاويتان المنتسبتان

الزاويتان المنتسبتان هما زاويتان الفرق بين قياسيهما أو مجموعهما يساوي عددًا صحيحًا من الزوايا القائمة. مثل: $\theta$ و $180^\circ - \theta$ (مجموعهما قائمتان)، و $\theta$ و $90^\circ + \theta$ (الفرق قائمة).

أولًا: الزوايا $180^\circ \pm \theta$ و $360^\circ - \theta$ و $-\theta$

هذه الزوايا تُعطي الدالة نفسها، وتتغير الإشارة حسب الربع:

الزاوية	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$180^\circ - \theta$ (الربع الثاني)	$\sin\theta$	$-\cos\theta$	$-\tan\theta$
$180^\circ + \theta$ (الربع الثالث)	$-\sin\theta$	$-\cos\theta$	$\tan\theta$
$360^\circ - \theta$ أو $-\theta$ (الربع الرابع)	$-\sin\theta$	$\cos\theta$	$-\tan\theta$

والمقلوبات تتبع دوالها: مثلًا $\csc(180^\circ - \theta) = \csc\theta$ و $\sec(180^\circ + \theta) = -\sec\theta$ .

لماذا؟ نقطة الزاوية $180^\circ - \theta$ هي صورة النقطة $(x, y)$ بالانعكاس في محور الصادات، أي $(-x, y)$ ؛ فيبقى الجيب ويتغير جيب التمام.

ثانيًا: الزوايا $90^\circ \pm \theta$ و $270^\circ \pm \theta$

هذه الزوايا تحوّل الدالة إلى “تمامها”: الجيب ↔ جيب التمام، والظل ↔ ظل التمام، والقاطع ↔ قاطع التمام، مع إشارة الدالة الأصلية في ربع الزاوية الجديدة (باعتبار $\theta$ حادة):

الزاوية	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$90^\circ - \theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$	$\cot\theta$
$90^\circ + \theta$	$\cos\theta$	$-\sin\theta$	$-\cot\theta$
$270^\circ - \theta$	$-\cos\theta$	$-\sin\theta$	$\cot\theta$
$270^\circ + \theta$	$-\cos\theta$	$\sin\theta$	$-\cot\theta$

طريقة للتذكر: مع $180^\circ$ و $360^\circ$ تبقى الدالة كما هي، ومع $90^\circ$ و $270^\circ$ تتحول إلى تمامها. ثم نضع إشارة الدالة الأصلية في الربع الذي تقع فيه الزاوية.

ثالثًا: الحل العام لمعادلات على الصورة $\sin\alpha = \cos\beta$

إذا كان $\sin\alpha = \cos\beta$ فإن:

\alpha \pm \beta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \qquad , \qquad n \in \mathbb{Z}

والصيغة نفسها تصح إذا كان $\sec\alpha = \csc\beta$ . أما إذا كان $\tan\alpha = \cot\beta$ فإن:

\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \pi n \qquad , \qquad n \in \mathbb{Z}

وأبسط حالاتها: إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ حادتين و $\sin\alpha = \cos\beta$ فإن $\alpha + \beta = 90^\circ$ (زاويتان متتامتان).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد دون الآلة الحاسبة: $\cos 150^\circ$ ، $\sin 225^\circ$ ، $\tan 330^\circ$ .

$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
$\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ .
$\tan 330^\circ = \tan(360^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

مثال 2: أوجد $\sin 120^\circ$ بطريقتين.

$\sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
$\sin(90^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

مثال 3: إذا كان الضلع النهائي لزاوية حادة $\theta$ يقطع دائرة الوحدة في $\left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$ ، فأوجد $\cos(90^\circ + \theta)$ و $\tan(270^\circ - \theta)$ .

$\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta = -\frac{3}{5}$ ، و $\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta = \frac{4}{3}$ .

مثال 4: أوجد قيمة $\theta$ الحادة التي تحقق $\sin(\theta + 20^\circ) = \cos(2\theta + 10^\circ)$ .

بما أن الزاويتين حادتان فهما متتامتان: $\theta + 20^\circ + 2\theta + 10^\circ = 90^\circ$ ، إذن $3\theta = 60^\circ$ و $\theta = 20^\circ$ .

مثال 5: أوجد الحل العام للمعادلة $\sin 3\theta = \cos\theta$ .

$3\theta \pm \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ :

$4\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ومنها $\theta = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$ .
$2\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ومنها $\theta = \frac{\pi}{4} + \pi n$ .

حيث $n \in \mathbb{Z}$ .

ملاحظات مهمة

حدد الربع أولًا ثم الإشارة، ولا تعتمد على حفظ الجداول وحدها.
الزاوية $-\theta$ تكافئ $360^\circ - \theta$ ، ولهذا $\cos(-\theta) = \cos\theta$ و $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ .
الزوايا الأكبر من $360^\circ$ : اطرح مضاعفات $360^\circ$ أولًا، مثل $\sin 480^\circ = \sin 120^\circ$ .
في الكتاب المدرسي: $\sin$ = جا، $\cos$ = جتا، $\tan$ = ظا، $\cot$ = ظتا، $\sec$ = قا، $\csc$ = قتا.

المفاهيم الأساسية

الزاويتان المنتسبتان: فرقهما أو مجموعهما عدد صحيح من القوائم.
مع $180^\circ \pm \theta$ و $360^\circ - \theta$ : الدالة نفسها بإشارة الربع.
مع $90^\circ \pm \theta$ و $270^\circ \pm \theta$ : الدالة تتحول إلى تمامها بإشارة الربع.
$\sin\alpha = \cos\beta$ تعطي $\alpha \pm \beta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ .

ملخص الدرس

الزوايا المنتسبة تشترك في قيم دوالها المثلثية مقدارًا، وتختلف إشارةً حسب الربع؛ فالزوايا المرتبطة بـ $180^\circ$ و $360^\circ$ تحتفظ بالدالة نفسها، والمرتبطة بـ $90^\circ$ و $270^\circ$ تحولها إلى تمامها. وبهذه العلاقات نحسب قيمًا كثيرة دون آلة حاسبة، ونحل معادلات تساوي فيها دالةٌ تمامَ دالة أخرى.

أسئلة للتدريب

أوجد دون الآلة الحاسبة: $\sin 135^\circ$ ، $\cos 240^\circ$ ، $\tan 315^\circ$ ، $\cos(-60^\circ)$ .
بسّط: $\sin(180^\circ - \theta) + \cos(90^\circ + \theta)$ .
إذا كان $\cos\theta = \frac{5}{13}$ و $\theta$ حادة، فأوجد $\sin(90^\circ - \theta)$ و $\cot(270^\circ + \theta)$ .
أوجد قيمة $\theta$ الحادة التي تحقق $\cos(3\theta - 10^\circ) = \sin(\theta + 40^\circ)$ .
أوجد الحل العام للمعادلة $\cos 5\theta = \sin\theta$ .