أهداف التعلم

• أن تمثل دالة الجيب بيانيًّا في الفترة $[0, 2\pi]$ باستخدام جدول قيم.
• أن تمثل دالة جيب التمام بيانيًّا في الفترة نفسها.
• أن تستنتج خواص كل دالة: المجال والمدى والدورة والقيم العظمى والصغرى.
• أن تستخدم الدوال المثلثية في نمذجة ظواهر دورية بسيطة.

شرح الدرس

جدول قيم دالة الجيب

نحسب قيم $y = \sin x$ عند زوايا مختارة بين $0$ و $2\pi$ (القيم مقربة لرقم عشري واحد):

بتعيين هذه النقاط على المستوى الإحداثي وتوصيلها بمنحنى أملس نحصل على منحنيي الدالتين:

خواص دالة الجيب $y = \sin x$

• المجال: جميع الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$، والمدى: الفترة $[-1, 1]$.
• دالة دورية طول دورتها $2\pi$؛ أي أن المنحنى في الفترة $[0, 2\pi]$ يتكرر يمينًا ويسارًا كل $2\pi$.
• القيمة العظمى $1$ وتحدث عند $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
• القيمة الصغرى $-1$ وتحدث عند $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
• يقطع محور السينات عند $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ ويمر بنقطة الأصل.

خواص دالة جيب التمام $y = \cos x$

• المجال: $\mathbb{R}$، والمدى: $[-1, 1]$.
• دالة دورية طول دورتها $2\pi$.
• القيمة العظمى $1$ وتحدث عند $x = 2\pi n$.
• القيمة الصغرى $-1$ وتحدث عند $x = \pi + 2\pi n$.
• يقطع محور الصادات عند النقطة $(0, 1)$، ويقطع محور السينات عند $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots$

العلاقة بين المنحنيين

المنحنيان لهما الشكل نفسه تمامًا، لكن منحنى جيب التمام مُزاح إلى اليسار بمقدار $\frac{\pi}{2}$ عن منحنى الجيب؛ وهذا يتفق مع العلاقة $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ التي درستها في الزوايا المنتسبة.

أثر ضرب الدالة في عدد

المنحنى $y = a\sin x$ حيث $a > 0$ له الشكل نفسه، لكن قيمته العظمى $a$ وقيمته الصغرى $-a$، أي أن مداه $[-a, a]$. فمثلًا مدى $y = 3\sin x$ هو $[-3, 3]$.

أسئلة للتدريب

1. ارسم منحنى $y = \sin x$ حيث $x \in [0, 2\pi]$، وحدد عليه القيمتين العظمى والصغرى.
2. ارسم منحنى $y = 3\sin x$ في الفترة نفسها، واذكر مداه.
3. ارسم منحنى $y = 2\cos x$ حيث $x \in [0, 2\pi]$.
4. أين يقطع منحنى $y = \cos x$ محور السينات في الفترة $[0, 2\pi]$؟
5. في مثال المد والجزر، كم ساعة يكون فيها عمق المياه 12 مترًا أو أكثر خلال اليوم؟