ملخص المعادلات الأسية — ثالثة إعدادي

المعادلات الأسية

حل المعادلات التي يظهر فيها المجهول في الأس بتوحيد الأساسات ومساواة الأسس، مع حالات الأس الصفري والأعداد الكسرية والتحقق من الحل.

مقدمة

الوحدة: الوحدة 1: الأعداد والعمليات عليها
الدرس: 1-2

في المعادلات التي درستها سابقًا كان المجهول أساسًا أو عاملًا، مثل $3x = 12$ . أما في المعادلة الأسية فالمجهول يظهر في الأس، مثل $2^x = 32$ . سنعتمد في حلها على قواعد القوى التي تعلمتها في درس قوى القوى.

أهداف التعلم

أن تميّز المعادلة الأسية من غيرها.
أن تحل معادلة أسية بتوحيد الأساسات ثم مساواة الأسس.
أن تستخدم الأس الصفري والأس السالب في الحل.
أن تتحقق من صحة الحل بالتعويض.

شرح الدرس

ما المعادلة الأسية؟

المعادلة الأسية معادلة يكون فيها المجهول جزءًا من أس، مثل:

3^x = 81, \qquad 5^{x-1} = 25, \qquad 2^{2x} = 8^{x-1}

الخاصية الأساسية للحل

إذا كان $a > 0$ و $a \neq 1$ فإن:

a^m = a^n \iff m = n

أي إذا تساوت قوتان لهما الأساس نفسه تساوى الأسان. نستثني $a = 1$ لأن $1^m = 1^n$ دائمًا مهما كان $m$ و $n$ .

خطوات الحل

اكتب طرفي المعادلة في صورة قوتين لأساس واحد.
طبّق قواعد القوى لتبسيط كل طرف إلى قوة واحدة.
ساوِ الأسين لتحصل على معادلة خطية أو بسيطة.
حل المعادلة الناتجة، ثم تحقق بالتعويض.

حالتان خاصتان

إذا كان أحد الطرفين $1$ فاكتبه $a^0$ : فحل $7^{x-3} = 1$ هو $x - 3 = 0$ أي $x = 3$ .
إذا كان أحد الطرفين كسرًا مثل $\frac{1}{9}$ فاكتبه بأس سالب: $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حل المعادلة $2^x = 32$ .

الحل: $32 = 2^5$ ، إذن $2^x = 2^5$ ومنها $x = 5$ . التحقق: $2^5 = 32$ ✓.

مثال 2: حل المعادلة $5^{x-1} = 125$ .

الحل: $125 = 5^3$ ، إذن $x - 1 = 3$ ومنها $x = 4$ .

مثال 3: حل المعادلة $3^{2x+1} = \frac{1}{27}$ .

الحل: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ ، إذن $2x + 1 = -3$ ، فيكون $2x = -4$ و $x = -2$ . التحقق: $3^{2(-2)+1} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$ ✓.

مثال 4: حل المعادلة $4^{x} = 8^{x-1}$ .

الحل: نكتب الأساسين بالأساس $2$ : $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ و $8^{x-1} = (2^3)^{x-1} = 2^{3x-3}$ . إذن $2x = 3x - 3$ ومنها $x = 3$ . التحقق: $4^3 = 64$ و $8^2 = 64$ ✓.

مثال 5: حل المعادلة $9^{x} \times 3^{x} = 243$ .

الحل: $9^x = 3^{2x}$ ، فالطرف الأيمن $3^{2x} \times 3^x = 3^{3x}$ ، و $243 = 3^5$ . إذن $3x = 5$ و $x = \frac{5}{3}$ .

ملاحظات مهمة

لا يجوز مساواة الأسس قبل أن يصبح الأساسان متساويين فعلًا.
$2^x$ تكون موجبة دائمًا، لذلك لا يوجد حل حقيقي لمعادلة مثل $2^x = -8$ .
اختر أصغر أساس مشترك (مثل $2$ للأعداد $4$ و $8$ و $16$ ) لتسهيل الحساب.

المفاهيم الأساسية

المعادلة الأسية: المجهول يظهر في الأس.
إذا كان $a^m = a^n$ و $a > 0$ و $a \neq 1$ فإن $m = n$ .
يُكتب العدد $1$ بالصورة $a^0$ ، ويُكتب الكسر $\frac{1}{a^n}$ بالصورة $a^{-n}$ .
قاعدة قوة القوة تساعد على توحيد الأساسات.

ملخص الدرس

نحل المعادلة الأسية بإعادة كتابة طرفيها قوتين لأساس واحد، ثم نساوي الأسين ونحل المعادلة الناتجة ونتحقق من الحل بالتعويض. ويُستعان بالأس الصفري والأس السالب عندما يكون أحد الطرفين واحدًا أو كسرًا.

أسئلة للتدريب

حل: $3^{x+2} = 81$ .
حل: $2^{x-4} = 1$ .
حل: $5^{2x} = \frac{1}{125}$ .
حل: $27^{x} = 9^{x+1}$ .
لماذا لا يكون للمعادلة $3^x = -9$ حل حقيقي؟