أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد المجال المشترك للدالتين $n_1(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4x}$ و$n_2(x) = \frac{3}{x^2 - 16}$.

الحل: أصفار $x(x - 4)$ هي $\{0, 4\}$، وأصفار $(x - 4)(x + 4)$ هي $\{4, -4\}$. المجال المشترك $\mathbb{R} - \{0, 4, -4\}$.

مثال 2: هل $n_1 = n_2$ حيث $n_1(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x}$ و$n_2(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x}$؟

الحل: $n_1(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{x - 1}{x}$ ومجالها $\mathbb{R} - \{0, -1\}$.

$n_2(x) = \frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)} = \frac{x - 1}{x}$ ومجالها $\mathbb{R} - \{0, 1\}$.

القاعدتان متساويتان لكن المجالين مختلفان، إذن $n_1 \neq n_2$.

مثال 3: هل $n_1 = n_2$ حيث $n_1(x) = \frac{2x}{x^2 + 2x}$ و$n_2(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4}$؟

الحل: $n_1(x) = \frac{2x}{x(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}$ ومجالها $\mathbb{R} - \{0, -2\}$.

$n_2(x) = \frac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2}{x + 2}$ ومجالها $\mathbb{R} - \{2, -2\}$.

المجالان مختلفان، إذن $n_1 \neq n_2$. لاحظ أنهما تتساويان في كل نقطة من $\mathbb{R} - \{0, 2, -2\}$.

مثال 4: إذا كانت $n_1(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 3x}$ و$n_2(x) = \frac{a}{x}$ وكانت $n_1 = n_2$، فما قيمة $a$؟ وهل التساوي ممكن؟

الحل: $n_1(x) = \frac{1}{x}$ على المجال $\mathbb{R} - \{0, -3\}$، بينما مجال $n_2$ هو $\mathbb{R} - \{0\}$ مهما كانت $a$. فالمجالان لا يتساويان أبدًا، ولا توجد قيمة لـ $a$ تجعل الدالتين متساويتين.