أهداف التعلم

• تكتب مفكوك $(x+y)^n$ لأي عدد صحيح موجب $n$ باستخدام عدد التوافيق أو مثلث باسكال.
• تستنتج خصائص المفكوك: عدد الحدود، ومجموع الأسّين في كل حد، وتماثل المعاملات.
• تستخدم الحد العام $T_{r+1}$ لإيجاد أي حد دون كتابة المفكوك، وتحسب الحد من نهاية المفكوك.
• تعيّن الحد الأوسط (أو الحدّين الأوسطين) وتحسب مجموعات معاملات مفيدة.

شرح الدرس

من المفكوكات الصغيرة إلى القاعدة العامة

لاحظ المفكوكات الأولى:

في كل مفكوك تبدأ قوة $x$ من $n$ وتنقص بمقدار واحد في كل حد حتى تصل إلى الصفر، بينما تبدأ قوة $y$ من الصفر وتزيد بمقدار واحد حتى تصل إلى $n$. أما المعاملات فهي أعداد التوافيق، وهذا ما تنص عليه النظرية.

نص النظرية

لأي عددين حقيقيين $x$ و$y$ ولأي عدد صحيح موجب $n$:

حيث $\binom{n}{r}$ (ويُكتب أيضًا ${}^{n}C_{r}$) هو عدد التوافيق:

خصائص المفكوك

• عدد الحدود في المفكوك يساوي $n + 1$.
• مجموع أُسّي $x$ و$y$ في أي حد يساوي $n$.
• الحدود مرتبة تنازليًا حسب قوى $x$، أي تصاعديًا حسب قوى $y$.
• رتبة الحد تزيد بمقدار واحد عن قوة $y$ فيه؛ فالحد الذي قوة $y$ فيه $r$ رتبته $r+1$.
• المعاملات المتساوية البعد عن طرفي المفكوك متساوية لأن $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

مثلث باسكال

يمكن إيجاد معاملات المفكوك دون حساب التوافيق: كل عدد في المثلث يساوي مجموع العددين اللذين فوقه مباشرة، ويقابل الصف رقم $n$ معاملات $(x+y)^n$ (مع اعتبار الصف الأول $n=0$).

وتُلخّص قاعدة تكوينه بمتطابقة باسكال: $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$.

مفكوك الفرق وحالات خاصة

لمفكوك $(x-y)^n$ نكتب $(x + (-y))^n$ فتتناوب إشارات الحدود: موجب ثم سالب، ويحمل الحد ذو الرتبة $r+1$ العامل $(-1)^r$. وأهم الحالات الخاصة:

الحد العام

الحد ذو الرتبة $(r+1)$ في مفكوك $(x+y)^n$ هو:

فالحد الخامس مثلًا يقابل $r = 4$.

الحد من نهاية المفكوك

عدد حدود المفكوك $n+1$، فالحد الذي رتبته $k$ من النهاية رتبته $n + 2 - k$ من البداية. مثلًا في مفكوك فيه 12 حدًّا، الحد الرابع من النهاية هو الحد التاسع من البداية لأن $12 - 4 + 1 = 9$. ويمكن أيضًا كتابة المفكوك بعكس الترتيب (أي بتبديل دوري $x$ و$y$) وأخذ الحد من البداية.

الحد الأوسط

• إذا كان $n$ زوجيًّا فعدد الحدود $n+1$ فردي، ويوجد حد أوسط واحد رتبته $\frac{n}{2} + 1$.
• إذا كان $n$ فرديًّا فعدد الحدود زوجي، ويوجد حدّان أوسطان رتبتاهما $\frac{n+1}{2}$ و$\frac{n+3}{2}$.

مجموع معاملات المفكوك

بالتعويض $x = y = 1$ نجد أن مجموع المعاملات $2^n$. وبالتعويض $x = 1$ و$y = -1$ نجد أن مجموع معاملات الحدود الفردية الرتبة يساوي مجموع معاملات الحدود الزوجية الرتبة، وكلٌّ منهما $2^{n-1}$. كما أن:

حيث $T_k$ حدود مفكوك $(x+a)^n$.

أسئلة للتدريب

1. اكتب مفكوك $(1 - 2x)^4$ ثم تحقق من مجموع معاملاته عند $x = 1$.
2. أوجد الحد الرابع من مفكوك $\left(2x - \dfrac{1}{x}\right)^{7}$ بدلالة $x$.
3. في مفكوك $(x + 3)^{10}$ أوجد الحد الثالث من النهاية.
4. أوجد الحد الأوسط في مفكوك $(2x + y)^{6}$.
5. إذا كان مجموع معاملات مفكوك $(x+y)^n$ يساوي $1024$ فما قيمة $n$ وكم حدًّا في المفكوك؟