ملخص الجذور التكعيبية للواحد الصحيح — ثالثة ثانوي

مقدمة

المعادلة $z^3 = 1$ لها جذر حقيقي واضح هو $1$ ، لكن من نظرية ديموافر نعلم أن لها ثلاثة جذور. أين الجذران الآخران؟ وما العلاقة التي تجعلهما يسهّلان حل مسائل جبرية طويلة؟ في هذا الدرس نكتشف أن الجذرين المركبين يرتبطان بعلاقات جميلة تحوّل مقادير معقدة إلى أعداد بسيطة.

أهداف التعلم

تجد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح بالصورتين المثلثية والجبرية وتمثلها هندسيًّا.
تستنتج خواص الجذر $\omega$ وتستخدمها في اختزال القوى.
تبسّط مقادير جبرية تتضمن $\omega$ و $\omega^2$ .
تكوّن معادلة تربيعية إذا علم جذراها المعطيان بدلالة $\omega$ .

شرح الدرس

الجذور التكعيبية للواحد

بكتابة $1 = \cos 0 + i\sin 0$ وتطبيق نظرية ديموافر مع $n = 3$ :

z_k = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}, \qquad k = 0, 1, 2

فالجذور: $1$ و $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ و $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ . نرمز لأحد الجذرين المركبين بـ $\omega$ فيكون الآخر $\omega^2$ ، والجذور الثلاثة هي $1$ و $\omega$ و $\omega^2$ .

الجذور التكعيبية للواحد: النقاط 1 وω وω² على دائرة الوحدة تشكل رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، والزاوية بين كل جذرين متجاورين 120 درجة

خواص الجذور التكعيبية للواحد

$\omega^3 = 1$ ، وكل قوة تُختزل بقسمة الأس على $3$ وأخذ الباقي: $\omega^{3k} = 1$ و $\omega^{3k+1} = \omega$ و $\omega^{3k+2} = \omega^2$ .
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ (مجموع الجذور صفر)، ومنها $1 + \omega = -\omega^2$ و $1 + \omega^2 = -\omega$ و $\omega + \omega^2 = -1$ .
$\omega^2 = \overline{\omega} = \dfrac{1}{\omega}$ ، وحاصل ضرب الجذرين المركبين $\omega\cdot\omega^2 = 1$ .
$\omega - \omega^2 = \pm\sqrt{3}\,i$ (الإشارة حسب اختيار $\omega$ ).
الجذور الثلاثة تقع على دائرة الوحدة وتشكّل رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، والزاوية بين كل جذرين متتاليين $120^\circ$ .

التحليل وتكوين المعادلات

بما أن $\omega$ و $\omega^2$ جذرا $z^2 + z + 1 = 0$ فإن:

z^3 - 1 = (z-1)(z-\omega)(z-\omega^2), \qquad z^3 + 1 = (z+1)(z+\omega)(z+\omega^2)

ولتكوين معادلة تربيعية جذراها $\alpha$ و $\beta$ نستخدم $z^2 - (\alpha+\beta)z + \alpha\beta = 0$ ونحسب المجموع والحاصل بخواص $\omega$ .

تعريفات

الجذر التكعيبي للواحد: عدد $z$ يحقق $z^3 = 1$ .
$\omega$ : الرمز المستعمل لأحد الجذرين التكعيبيين المركبين للواحد.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أثبت أن $\omega^4 + \omega^2 + 1 = 0$ .

الحل: $\omega^4 = \omega^3\cdot\omega = \omega$ فالمقدار $\omega + \omega^2 + 1 = 0$ .

مثال 2: بسّط $(1+\omega)(1+\omega^2)$ .

الحل: $= 1 + \omega^2 + \omega + \omega^3 = (1+\omega+\omega^2) + 1 = 0 + 1 = 1$ .

مثال 3: احسب $\omega^{100}$ و $\omega^{2024}$ .

الحل: $100 = 3 \times 33 + 1$ فـ $\omega^{100} = \omega$ . و $2024 = 3 \times 674 + 2$ فـ $\omega^{2024} = \omega^2$ .

مثال 4: أوجد قيمة $(1 - \omega + \omega^2)(1 + \omega - \omega^2)$ .

الحل: $1 + \omega^2 = -\omega$ فالعامل الأول $-2\omega$ ، و $1 + \omega = -\omega^2$ فالعامل الثاني $-2\omega^2$ ، والناتج $4\omega^3 = 4$ .

مثال 5: أثبت أن $\omega$ جذر للمعادلة $z^7 + z^5 + 1 = 0$ .

الحل: $\omega^7 = \omega$ و $\omega^5 = \omega^2$ فالمقدار $\omega + \omega^2 + 1 = 0$ .

مثال 6 (تكوين معادلة): كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها $1 + 2\omega$ و $1 + 2\omega^2$ .

الحل: المجموع $2 + 2(\omega + \omega^2) = 2 - 2 = 0$ ، والحاصل $1 + 2\omega + 2\omega^2 + 4\omega^3 = 1 - 2 + 4 = 3$ . المعادلة $z^2 + 3 = 0$ . (تحقق: $1 + 2\omega = \sqrt{3}\,i$ .)

مثال 7: أثبت أن $(a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ .

الحل: بالفك تظهر الحدود المربعة $a^2 + b^2\omega^3 + c^2\omega^3 = a^2 + b^2 + c^2$ ، وحدود $ab$ هي $ab(\omega + \omega^2) = -ab$ ، وحدود $ac$ هي $ac(\omega + \omega^2) = -ac$ ، وحدود $bc$ هي $bc(\omega^2 + \omega^4) = bc(\omega^2 + \omega) = -bc$ . فيكون الناتج $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ .

مثال 8: حلّل $z^3 - 8$ إلى عوامل مركبة.

الحل: $z^3 - 8 = (z - 2)(z - 2\omega)(z - 2\omega^2)$ .

ملاحظات مهمة

الرمز $\omega$ يمثل أيًّا من الجذرين المركبين؛ الخواص نفسها تصح لأي منهما.
اختزل القوى بـ $\omega^3 = 1$ قبل أي خطوة أخرى.
استبدال $1$ بـ $-(\omega + \omega^2)$ (أو العكس) حيلة متكررة في التبسيط.
لا تخلط بين $\omega^2 = \bar{\omega}$ و $\omega^2 = -\omega$ ؛ الأولى صحيحة والثانية خطأ.

المفاهيم الأساسية

الجذور: $1$ و $\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ و $\omega^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ .
$\omega^3 = 1$ و $1 + \omega + \omega^2 = 0$ .
$\omega^2 = \bar{\omega} = \frac{1}{\omega}$ .
تُختزل القوى بأخذ باقي قسمة الأس على $3$ .

ملخص الدرس

للمعادلة $z^3 = 1$ ثلاثة جذور هي رؤوس مثلث متساوي الأضلاع على دائرة الوحدة. يحقق الجذران المركبان $\omega$ و $\omega^2$ علاقات تختزل القوى وتبسّط المقادير: $\omega^3 = 1$ و $1 + \omega + \omega^2 = 0$ و $\omega^2 = \bar{\omega}$ . وتُستخدم لتحليل $z^3 \pm 1$ ولتكوين معادلات تربيعية.

أسئلة للتدريب

أوجد قيمة $\omega^{31} + \omega^{32} + \omega^{33}$ .
بسّط $\dfrac{1}{1+\omega} + \dfrac{1}{1+\omega^2}$ .
كوّن معادلة تربيعية جذراها $\omega + 2$ و $\omega^2 + 2$ .
أثبت أن $(1 + \omega^2)^4 = \omega$ .
حلّل $z^3 + 27$ إلى عوامل مركبة بدلالة $\omega$ .