ملخص الشغل — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الثالثة: الشغل والطاقة والقدرة

إذا دفعت جدارًا بكل قوتك ساعة كاملة فلن يتحرك، ومع ذلك تشعر بالتعب. أما في الفيزياء فنقول إنك لم تبذل شغلًا لأن الجدار لم ينتقل. الشغل في الميكانيكا يحتاج قوة وإزاحة معًا. وهو كمية قياسية تربط القوة بالحركة، وهو حلقة الوصل بين قوانين نيوتن ومفهوم الطاقة الذي سندرسه بعده.

أهداف التعلم

تعرّف الشغل الذي تبذله قوة ثابتة وتحسبه بالضرب القياسي لمتجهي القوة والإزاحة.
تحدد متى يكون الشغل موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.
تستخدم وحدات الشغل: الجول والإرج وثقل كجم.متر وتحوّل بينها.
تحسب الشغل المبذول من قوة متغيرة بالتكامل ومن مساحة منحنى القوة–الإزاحة.

شرح الدرس

الشغل بقوة ثابتة

إذا تحرك جسم في خط مستقيم تحت تأثير قوة ثابتة $\vec{F}$ وانتقل من $A$ إلى $B$ بإزاحة $\vec{d} = \overrightarrow{AB}$ ، فإن الشغل الذي تبذله القوة هو الضرب القياسي:

W = \vec{F}\cdot\vec{d}

والشغل كمية قياسية قد تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا. وبدلالة المعيارين وزاوية $\theta$ بين متجهي القوة والإزاحة:

W = F\,d\cos\theta

وإذا كانت $\vec{F} = (F_x, F_y)$ و $\vec{d} = (d_x, d_y)$ فإن $W = F_x d_x + F_y d_y$ .

حالات خاصة

$\theta = 0^\circ$ (القوة في اتجاه الإزاحة): $W = F\,d$ موجب.
$0^\circ < \theta < 90^\circ$ : $W = (F\cos\theta)\,d$ موجب، فالمركبة الأفقية وحدها هي التي تعمل.
$\theta = 90^\circ$ (القوة عمودية على الإزاحة): $W = 0$ . فوزن سيارة تتحرك أفقيًا ورد فعل الطريق العمودي لا يبذلان شغلًا.
$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ : الشغل سالب ويسمى شغلًا مقاومًا، كشغل الاحتكاك أو المقاومة.

قوة مائلة تحرك جسمًا مسافة d والشغل F d cosθ، ومنحنى قوة متغيرة مع الإزاحة والمساحة تحته

ويتوقف الشغل على الإزاحة $\overrightarrow{AB}$ لا على المسار الذي سلكه الجسم. وإذا حدثت إزاحتان متتاليتان فإن الشغل خلال الإزاحة المحصلة يساوي مجموع الشغلين: $\vec{F}\cdot(\vec{d}_1 + \vec{d}_2) = \vec{F}\cdot\vec{d}_1 + \vec{F}\cdot\vec{d}_2$ . وإذا عاد الجسم إلى موضعه الأول فالشغل صفر.

وحدات الشغل

وحدة الشغل = وحدة القوة × وحدة الإزاحة:

الجول = نيوتن.متر، وهو الوحدة الدولية.
الإرج = داين.سم، و $1$ جول $= 10^7$ إرج.
ثقل كجم.متر (ث كجم.م): $1$ ث كجم.م $= 9.8$ جول.

الشغل بقوة متغيرة

عندما تتغير القوة (في المقدار) على امتداد الإزاحة $s$ فنقسم الإزاحة إلى أجزاء صغيرة $\Delta s$ تكون القوة ثابتة تقريبًا في كل منها، ونجمع الأعمال الجزئية. وعندما تؤول $\Delta s$ إلى الصفر يصبح الشغل:

W = \int_{s_1}^{s_2} F\,ds

(حيث $F$ مركبة القوة في اتجاه الإزاحة). وهذا يساوي المساحة تحت منحنى القوة–الإزاحة، مع اعتبار المساحة تحت المحور سالبة.

تعريفات

الشغل: الضرب القياسي لمتجه القوة الثابتة ومتجه الإزاحة، $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$ .
الجول: شغل قوة مقدارها $1$ نيوتن تحرك نقطة تأثيرها مترًا واحدًا في اتجاهها.
الشغل المقاوم: شغل سالب تبذله قوة تعاكس اتجاه الإزاحة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (بالمتجهات): تحرك جسم من $A(1, 2)$ إلى $B(4, -2)$ تحت تأثير القوة $\vec{F} = 5\hat{\imath} + 3\hat{\jmath}$ نيوتن (الإحداثيات بالمتر). أوجد الشغل.

الحل: $\vec{d} = \overrightarrow{AB} = (3, -4)$ فـ $W = 5 \times 3 + 3 \times (-4) = 15 - 12 = 3$ جول.

مثال 2 (بزاوية): يسحب شخص حقيبة مسافة $12$ م بقوة $50$ نيوتن تميل على الأفقي بزاوية جيب تمامها $0.8$ . أوجد الشغل.

الحل: $W = Fd\cos\theta = 50 \times 12 \times 0.8 = 480$ جول.

مثال 3 (مستوى مائل): ينزلق جسم كتلته $10$ كجم مسافة $5$ م على مستوى خشن جيب زاوية ميله $0.6$ ومعامل الاحتكاك الحركي $0.25$ . أوجد شغل كل من وزنه ورد الفعل والاحتكاك والشغل الكلي.

الحل: $mg = 98$ نيوتن، $N = mg\cos\theta = 98 \times 0.8 = 78.4$ نيوتن. شغل الوزن: $98 \times 0.6 \times 5 = 294$ جول. شغل رد الفعل: صفر (عمودي على الإزاحة). قوة الاحتكاك $0.25 \times 78.4 = 19.6$ نيوتن، وشغلها $-19.6 \times 5 = -98$ جول. الشغل الكلي $294 - 98 = 196$ جول.

مثال 4: احسب الشغل اللازم لرفع جسم كتلته $40$ كجم رأسيًا مسافة $6$ أمتار ببطء.

الحل: قوة الرفع تساوي الوزن $40 \times 9.8 = 392$ نيوتن، فالشغل $392 \times 6 = 2352$ جول $= 240$ ث كجم.متر.

مثال 5 (مقاومة): يتحرك جسم على خط مستقيم وتؤثر فيه مقاومة $200$ نيوتن. أوجد الشغل الذي تبذله المقاومة خلال إزاحة $150$ م.

الحل: المقاومة تعاكس الإزاحة فيكون $W = -200 \times 150 = -3 \times 10^4$ جول.

مثال 6 (قوة متغيرة): تؤثر قوة $F = 2s + 1$ نيوتن في جسم يتحرك على مستقيم من $s = 0$ إلى $s = 4$ م. أوجد الشغل.

الحل: $W = \displaystyle\int_0^4 (2s + 1)\,ds = \left[s^2 + s\right]_0^4 = 16 + 4 = 20$ جول.

مثال 7 (من المنحنى): منحنى القوة–الإزاحة في الشكل: ترتفع القوة خطيًا من $0$ إلى $6$ نيوتن بين $s = 0$ و $s = 2$ م، ثم تبقى $6$ نيوتن حتى $s = 6$ م، ثم تتناقص إلى $0$ عند $s = 8$ م. أوجد الشغل.

الحل: المساحة $= \dfrac{1}{2}(2)(6) + 4 \times 6 + \dfrac{1}{2}(2)(6) = 6 + 24 + 6 = 36$ جول.

ملاحظات مهمة

شغل القوة الثابتة يتوقف على الإزاحة لا على المسار؛ أما شغل الاحتكاك فيُحسب بطول المسار الفعلي لأن قوته تعاكس الحركة في كل لحظة.
القوة التي لا تتحرك نقطة تأثيرها (أو العمودية على الإزاحة) لا تبذل شغلًا.
حوّل كل الوحدات إلى النظام نفسه قبل الحساب (نيوتن مع متر، داين مع سنتيمتر).
الشغل الكلي = مجموع أشغال كل القوى = شغل محصلة القوى على الإزاحة نفسها.

المفاهيم الأساسية

$W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F\,d\cos\theta$ كمية قياسية.
$\theta = 90^\circ$ شغل صفر، $\theta > 90^\circ$ شغل سالب (مقاوم).
$1$ جول $= 10^7$ إرج، $1$ ث كجم.م $= 9.8$ جول.
قوة متغيرة: $W = \int F\,ds$ ويساوي المساحة تحت منحنى القوة–الإزاحة.

ملخص الدرس

يقيس الشغل ما تبذله القوة على امتداد إزاحة الجسم، ويُحسب بالضرب القياسي $\vec{F}\cdot\vec{d}$ أي $Fd\cos\theta$ . يكون موجبًا إذا كانت المركبة في اتجاه الإزاحة، وسالبًا للمقاومات، وصفرًا للقوى العمودية على الحركة. وحدته الجول، وللقوى المتغيرة نستخدم التكامل أو مساحة منحنى القوة–الإزاحة.

أسئلة للتدريب

أوجد شغل القوة $\vec{F} = (4, -2)$ نيوتن عند إزاحة جسم من $(0, 0)$ إلى $(3, 5)$ متر.
تؤثر قوة $20$ نيوتن بزاوية $60^\circ$ مع الأفقي في جسم يتحرك أفقيًا $8$ م. أوجد الشغل.
ما شغل وزن جسم يتحرك على مستوى أفقي؟ ولماذا؟
أوجد شغل القوة $F = 3s^2$ نيوتن من $s = 1$ إلى $s = 3$ م.