ملخص الطاقة — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الثالثة: الشغل والطاقة والقدرة

كرة تتدحرج من أعلى منحدر تكتسب سرعة، وصخرة ترتفع إلى قمة تختزن «قدرة على السقوط». في الحالتين تتبادل الأجسام صورًا من الطاقة. وقد وجدنا أن الشغل يقيس ما تبذله القوة على امتداد إزاحة؛ والآن سنرى أين يذهب هذا الشغل: إلى طاقة حركة أو طاقة وضع، وسنتعلم أن مجموعهما يبقى ثابتًا في غياب المقاومات.

أهداف التعلم

تحسب طاقة حركة جسم وتعرف وحداتها.
تطبق مبدأ الشغل والطاقة: الشغل المبذول يساوي التغير في طاقة الحركة.
تعرّف طاقة الوضع وتحسب التغير فيها، وتربطها بالشغل.
تطبق مبدأ بقاء الطاقة الميكانيكية في غياب المقاومات، وتعدّله عند وجودها.

شرح الدرس

طاقة الحركة

طاقة حركة جسم كتلته $m$ ومتجه سرعته $\vec{v}$ تساوي نصف حاصل ضرب الكتلة في مربع السرعة:

E_k = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 = \frac{1}{2}m\,(\vec{v}\cdot\vec{v})

وهي كمية قياسية غير سالبة، لا تنعدم إلا عند انعدام السرعة. ووحدتها هي وحدة الشغل: الجول (كجم.م²/ث²) أو الإرج (جم.سم²/ث²).

مبدأ الشغل والطاقة

إذا أثرت قوة محصلة ثابتة $F$ في جسم كتلته $m$ فحرّكته مسافة $s$ فتغيرت سرعته من $v_1$ إلى $v_2$ ، فمن $v_2^2 = v_1^2 + 2as$ ومن $F = ma$ نجد:

W = F\,s = \frac{1}{2}m\,v_2^2 - \frac{1}{2}m\,v_1^2

وللقوة المتغيرة نصل إلى النتيجة نفسها بالتكامل ( $F\,ds = mv\,dv$ ). أي أن:

التغير في طاقة حركة الجسم عند انتقاله من موضع ابتدائي إلى موضع نهائي يساوي الشغل المبذول بالقوى المؤثرة عليه خلال الإزاحة.

طاقة الوضع

لجسم يتحرك على خط ثابت تحت تأثير قوة ثابتة $\vec{F}$ توازي الخط، نعرّف طاقة وضعه عند نقطة بأنها الشغل الذي تبذله القوة لتحريكه من تلك النقطة إلى نقطة مرجعية ثابتة (طاقة الوضع عندها صفر). ومن التعريف: التغير في طاقة الوضع عند الانتقال من موضع ابتدائي إلى نهائي يساوي سالب الشغل المبذول بالقوة: $\Delta E_p = -W$ . وللجاذبية الأرضية $E_p = mgh$ حيث $h$ الارتفاع عن المستوى المرجعي.

بقاء الطاقة الميكانيكية

إذا لم تؤثر مقاومات (احتكاك أو مقاومة هواء) فإن مجموع طاقتي الحركة والوضع لجسم ثابت أثناء الحركة:

E_k + E_p = C, \qquad \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2

حيث $C$ مقدار ثابت.

في وجود مقاومات: التغير في طاقة الوضع = التغير في طاقة الحركة + الشغل المبذول ضد المقاومات. وتصح هذه الصورة على المستوى المائل الخشن وفي السقوط الرأسي وسط مقاومة.

جسم ينزلق على مستوى مائل أملس والطاقة الكلية ثابتة في القمة والمنتصف والقاعدة

تعريفات

طاقة الحركة: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ ، طاقة يكتسبها الجسم بفضل سرعته.
طاقة الوضع: طاقة يختزنها الجسم بفضل موضعه، وللجاذبية $mgh$ .
الطاقة الميكانيكية: مجموع طاقتي الحركة والوضع.
مبدأ الشغل والطاقة: الشغل الكلي المبذول = التغير في طاقة الحركة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: جسم كتلته $2$ كجم يتحرك بسرعة $\vec{v} = 3\hat{\imath} + 4\hat{\jmath}$ م/ث. أوجد طاقة حركته.

الحل: $\|\vec{v}\|^2 = 9 + 16 = 25$ فـ $E_k = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 25 = 25$ جول.

مثال 2: سيارة كتلتها $1200$ كجم زادت سرعتها من $10$ إلى $20$ م/ث. ما الشغل المبذول؟

الحل: $W = \dfrac{1}{2} \times 1200\,(20^2 - 10^2) = 600 \times 300 = 180000$ جول.

مثال 3: رصاصة كتلتها $20$ جم تتحرك بسرعة $300$ م/ث اخترقت حاجزًا واستقرت فيه على عمق $15$ سم. أوجد متوسط قوة مقاومة الحاجز.

الحل: $E_k = \dfrac{1}{2} \times 0.02 \times 300^2 = 900$ جول. المقاومة تعاكس الإزاحة: $-F \times 0.15 = 0 - 900$ ومنها $F = 6000$ نيوتن.

مثال 4 (قذف رأسي): قُذف جسم كتلته $0.5$ كجم رأسيًا لأعلى بسرعة $14$ م/ث. أوجد أقصى ارتفاع، وسرعته عند ارتفاع $4$ م.

الحل: عند أقصى ارتفاع $E_k = 0$ : $\dfrac{1}{2} \times 0.5 \times 14^2 = 0.5 \times 9.8 \times h$ ومنها $h = 10$ م. عند $4$ م: $E_k = 49 - 0.5 \times 9.8 \times 4 = 29.4$ جول، فـ $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 29.4}{0.5}} = \sqrt{117.6} \approx 10.84$ م/ث.

مثال 5 (مستوى أملس): جسم كتلته $2$ كجم ينزلق من السكون على مستوى أملس من ارتفاع $5$ م. أوجد سرعته عند القاعدة، وطاقتيه عند منتصف الارتفاع.

الحل: عند القمة $E_p = 2 \times 9.8 \times 5 = 98$ جول. عند القاعدة تتحول كلها إلى حركة: $\dfrac{1}{2} \times 2\,v^2 = 98$ فـ $v \approx 9.9$ م/ث. عند منتصف الارتفاع $E_p = 49$ جول و $E_k = 49$ جول.

مثال 6 (مستوى خشن): ينزلق جسم كتلته $2$ كجم من السكون مسافة $5$ م على مستوى جيب زاوية ميله $0.6$ ، وتؤثر فيه مقاومة ثابتة $4$ نيوتن. أوجد سرعته في نهاية المسافة.

الحل: الارتفاع الرأسي $5 \times 0.6 = 3$ م، فالنقص في طاقة الوضع $2 \times 9.8 \times 3 = 58.8$ جول. الشغل ضد المقاومة $4 \times 5 = 20$ جول. إذن $E_k = 58.8 - 20 = 38.8$ جول أي $v^2 = 38.8$ و $v \approx 6.23$ م/ث.

مثال 7 (بندول): كرة كتلتها $0.8$ كجم معلقة بقضيب خفيف طوله $1.5$ م تُترك من وضع أفقي. أوجد سرعتها عند أدنى نقطة.

الحل: تهبط الكرة $1.5$ م: $\dfrac{1}{2} \times 0.8\,v^2 = 0.8 \times 9.8 \times 1.5$ فـ $v^2 = 29.4$ و $v \approx 5.42$ م/ث.

مثال 8 (مقاومة متغيرة): جسم كتلته $1$ كجم سرعته $10$ م/ث على خط مستقيم، تؤثر فيه مقاومة $3x^2$ نيوتن حيث $x$ المسافة بالمتر. أوجد سرعته بعد أن يقطع $2$ م.

الحل: الشغل $= -\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx = -8$ جول. $\dfrac{1}{2}(1)(v^2 - 100) = -8$ فـ $v^2 = 84$ و $v \approx 9.17$ م/ث.

ملاحظات مهمة

طاقة الحركة تعتمد على مقدار السرعة لا اتجاهها، ولا تكون سالبة أبدًا.
طاقة الوضع نسبية: تعتمد على اختيار المستوى المرجعي، لكن الفرق بين طاقتين هو الذي له معنى فيزيائي.
لا يصح تطبيق بقاء الطاقة الميكانيكية في وجود احتكاك ما لم تضف الشغل المبذول ضد المقاومات.
يجب أن تكون وحدات الطاقة والشغل هي نفسها: جول مع كجم/م/ث، وإرج مع جم/سم/ث.

المفاهيم الأساسية

$E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$ و $E_p = mgh$ .
مبدأ الشغل والطاقة: $W = \Delta E_k$ .
$\Delta E_p = -W$ للقوة المحافظة.
بقاء الطاقة: $E_k + E_p$ ثابت بلا مقاومات، ومع المقاومة: $\Delta E_p = \Delta E_k + W_r$ حيث $W_r$ الشغل المبذول ضد المقاومات.

ملخص الدرس

الشغل الذي تبذله محصلة القوى على جسم يساوي التغير في طاقة حركته، وهذا هو مبدأ الشغل والطاقة. وعندما تكون القوة جاذبية فيمكن تعريف طاقة وضع يساوي تغيرها سالب الشغل، فيتحول الحل إلى بقاء مجموع الطاقتين. وإذا وُجدت مقاومات فإن النقص في طاقة الوضع يتوزع بين زيادة طاقة الحركة والشغل المبذول ضد المقاومات.

أسئلة للتدريب

احسب طاقة حركة جسم كتلته $500$ جم يتحرك بسرعة $20$ م/ث بالجول.
أطلق جسم كتلته $2$ كجم رأسيًا إلى أعلى بسرعة $20$ م/ث. أوجد أقصى ارتفاع بمبدأ الطاقة.
جسم كتلته $3$ كجم ينزلق من السكون على مستوى أملس طوله $10$ م وارتفاعه $5$ م. أوجد سرعته عند القاعدة.
لماذا لا نستطيع القول إن الطاقة الميكانيكية تبقى ثابتة عند وجود احتكاك؟ وأين تذهب الطاقة المفقودة؟