ملخص الفترات والعمليات عليها — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها

عندما نقول إن درجة الحرارة المناسبة لنمو نبات ما «بين $20°$ و $30°$ »، فإننا لا نقصد عددًا واحدًا، بل كل الأعداد الحقيقية الواقعة بين هاتين القيمتين، وهي أعداد لا نهائية لا يمكن سردها. لذلك نستخدم طريقة مختصرة ودقيقة لكتابتها هي الفترات.

أهداف التعلم

أن يتعرف الطالب على مفهوم الفترة كمجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية.
أن يميز الطالب بين أنواع الفترات المحدودة وغير المحدودة ويكتب كلًّا منها بالرموز الصحيحة.
أن يحوّل الطالب بين صورة الفترة وصورة الصفة المميزة للمجموعة، ويمثل الفترة على خط الأعداد.
أن يجري الطالب عمليات الاتحاد والتقاطع والفرق والمكملة على الفترات مستعينًا بخط الأعداد.

شرح الدرس

لماذا نستخدم الفترات؟

بين أي عددين حقيقيين يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية؛ لذلك لا يمكن كتابة مجموعة مثل «الأعداد الحقيقية بين $1$ و $3$ » بطريقة السرد. الفترة تعبّر عن هذه المجموعة برمز قصير يحدد طرفيها، ويوضح هل كل طرف ينتمي إليها أم لا.

أولًا: الفترات المحدودة

إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين حيث $a < b$ ، فإن:

اسم الفترة	الرمز	الصفة المميزة	الطرفان
مغلقة	$[a, b]$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ a \leq x \leq b\}$	$a$ و $b$ ينتميان
مفتوحة	$]a, b[$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ a < x < b\}$	$a$ و $b$ لا ينتميان
نصف مفتوحة (نصف مغلقة)	$[a, b[$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ a \leq x < b\}$	$a$ ينتمي، $b$ لا ينتمي
نصف مفتوحة (نصف مغلقة)	$]a, b]$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ a < x \leq b\}$	$a$ لا ينتمي، $b$ ينتمي

كيف تتذكر الرمز؟ القوس الذي «يحتضن» العدد $[\,a$ أو $b\,]$ يعني أن العدد ينتمي إلى الفترة، والقوس المعكوس الذي «يبتعد» عن العدد $]\,a$ أو $b\,[$ يعني أنه لا ينتمي.

ثانيًا: الفترات غير المحدودة

تمتد الأعداد الحقيقية على خط الأعداد إلى ما لا نهاية في الاتجاه الموجب $(\infty)$ وفي الاتجاه السالب $(-\infty)$ . والرمزان $\infty$ و $-\infty$ ليسا عددين حقيقيين، لذلك يُكتب القوس عندهما دائمًا مفتوحًا:

الفترة	الصفة المميزة
$[a, \infty[$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ x \geq a\}$
$]a, \infty[$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ x > a\}$
$]-\infty, a]$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ x \leq a\}$
$]-\infty, a[$	$\{x : x \in \mathbb{R},\ x < a\}$

ومجموعة الأعداد الحقيقية كلها هي $\mathbb{R} = ]-\infty, \infty[$ . ومن الفترات المهمة:

الأعداد الحقيقية الموجبة: $\mathbb{R}^{+} = ]0, \infty[$ .
الأعداد الحقيقية السالبة: $\mathbb{R}^{-} = ]-\infty, 0[$ .
الأعداد الحقيقية غير السالبة: $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} = [0, \infty[$ .
الأعداد الحقيقية غير الموجبة: $\mathbb{R}^{-} \cup \{0\} = ]-\infty, 0]$ .

التمثيل على خط الأعداد

نقطة مصمتة (مملوءة) ● عند الطرف المنتمي إلى الفترة.
نقطة مفرغة ○ عند الطرف غير المنتمي إلى الفترة.
نظلل الجزء الواقع بين الطرفين، أو نرسم سهمًا يمتد إلى اليمين نحو $\infty$ أو إلى اليسار نحو $-\infty$ .

مثلًا: $]1, 3]$ تُمثَّل بنقطة مفرغة عند $1$ ونقطة مصمتة عند $3$ مع تظليل ما بينهما.

ثالثًا: العمليات على الفترات

الفترات مجموعات جزئية من $\mathbb{R}$ ، لذلك نجري عليها العمليات نفسها التي نجريها على المجموعات، مع اعتبار المجموعة الشاملة $U = \mathbb{R}$ :

الاتحاد $X \cup Y$ : العناصر التي تنتمي إلى $X$ أو إلى $Y$ .
التقاطع $X \cap Y$ : العناصر التي تنتمي إلى $X$ و إلى $Y$ معًا.
الفرق $X - Y$ : العناصر التي تنتمي إلى $X$ ولا تنتمي إلى $Y$ .
المكملة $X'$ : العناصر التي تنتمي إلى $\mathbb{R}$ ولا تنتمي إلى $X$ ، أي $X' = \mathbb{R} - X$ .

طريقة الحل: نمثل الفترتين على خطي أعداد متوازيين (أحدهما فوق الآخر) بالمقياس نفسه، ثم نقرأ الجزء المطلوب، مع الانتباه جيدًا لنوع كل طرف (مصمت أم مفرغ).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: اكتب المجموعة $A = \{x : x \in \mathbb{R},\ -2 \leq x < 5\}$ في صورة فترة، ثم بيّن هل $5 \in A$ .

الحل: $-2$ ينتمي و $5$ لا ينتمي، إذن $A = [-2, 5[$ ، وتُمثَّل بنقطة مصمتة عند $-2$ ونقطة مفرغة عند $5$ . إذن $5 \notin A$ .

مثال 2: هل $\sqrt{2} \in ]1, 3]$ ؟

الحل: $\sqrt{2} \approx 1.41$ ، و $1 < 1.41 \leq 3$ ، إذن $\sqrt{2} \in ]1, 3]$ .

مثال 3: إذا كانت $X = [-1, 4]$ و $Y = [2, 6[$ ، فأوجد: $X \cup Y$ ، $X \cap Y$ ، $X - Y$ ، $Y - X$ .

الحل: بتمثيل الفترتين على خطي أعداد:

$X \cup Y = [-1, 6[$ (من أصغر بداية إلى أكبر نهاية لأن الفترتين متداخلتان).
$X \cap Y = [2, 4]$ (الجزء المشترك، و $2$ و $4$ ينتميان إلى الفترتين معًا).
$X - Y = [-1, 2[$ (نحذف من $X$ كل ما ينتمي إلى $Y$ ؛ و $2 \in Y$ فيُحذف ويصبح الطرف مفتوحًا).
$Y - X = ]4, 6[$ (نحذف من $Y$ كل ما ينتمي إلى $X$ ؛ و $4 \in X$ فيُحذف).

لاحظ أن $X - Y \neq Y - X$ ، أي أن عملية الفرق ليست إبدالية.

مثال 4: إذا كانت $X = [-3, 2[$ ، فأوجد $X'$ .

الحل: $X' = \mathbb{R} - X$ ، أي كل الأعداد الحقيقية خارج $X$ :

X' = ]-\infty, -3[ \cup [2, \infty[

لاحظ أن $-3 \in X$ فلا ينتمي إلى $X'$ ، بينما $2 \notin X$ فينتمي إلى $X'$ .

مثال 5: إذا كانت $A = ]-\infty, 2]$ و $B = [5, \infty[$ ، فأوجد $A \cap B$ و $A \cup B$ .

الحل: لا يوجد جزء مشترك لأن $2 < 5$ ، إذن $A \cap B = \varnothing$ . أما الاتحاد فيُكتب $A \cup B = ]-\infty, 2] \cup [5, \infty[$ ، ولا يمكن كتابته فترة واحدة.

ملاحظات مهمة

في الكتاب المدرسي المصري تُكتب الفترة المفتوحة $]a, b[$ . وقد تجد في بعض المراجع الأجنبية الرمز $(a, b)$ بالمعنى نفسه، لكن التزم في الامتحان بطريقة الكتاب.
$\infty$ ليس عددًا، فلا نكتب أبدًا $[a, \infty]$ .
عند إيجاد الفرق أو المكملة ينقلب نوع الطرف: الطرف المنتمي إلى الفترة المحذوفة يصبح مفتوحًا في الناتج، والعكس.
إذا لم يوجد تداخل بين فترتين كان تقاطعهما $\varnothing$ .

المفاهيم الأساسية

الفترة مجموعة جزئية من $\mathbb{R}$ تضم كل الأعداد بين طرفين.
$[a, b]$ مغلقة، و $]a, b[$ مفتوحة، و $[a, b[$ و $]a, b]$ نصف مفتوحة.
القوس عند $\infty$ أو $-\infty$ مفتوح دائمًا، و $\mathbb{R} = ]-\infty, \infty[$ .
النقطة المصمتة تعني الانتماء، والمفرغة تعني عدم الانتماء.
$X \cup Y$ : في إحداهما على الأقل، $X \cap Y$ : فيهما معًا، $X - Y$ : في $X$ وليس في $Y$ ، $X' = \mathbb{R} - X$ .

ملخص الدرس

الفترة طريقة مختصرة لكتابة مجموعة غير منتهية من الأعداد الحقيقية المحصورة بين طرفين. تكون مغلقة إذا ضمت طرفيها، ومفتوحة إذا لم تضمهما، ونصف مفتوحة إذا ضمت طرفًا واحدًا، وغير محدودة إذا امتدت إلى $\infty$ أو $-\infty$ . ولأن الفترات مجموعات، نجري عليها الاتحاد والتقاطع والفرق والمكملة بتمثيلها على خط الأعداد وقراءة الجزء المطلوب مع الانتباه إلى نوع كل طرف.

أسئلة للتدريب

اكتب الفترة $]-3, 4]$ بطريقة الصفة المميزة، ومثلها على خط الأعداد.
اكتب في صورة فترة: مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة.
إذا كانت $A = [-4, 3[$ و $B = ]0, 7]$ ، فأوجد $A \cup B$ و $A \cap B$ و $A - B$ .
إذا كانت $X = ]-\infty, 1]$ ، فأوجد $X'$ .
هل $X - Y = Y - X$ دائمًا؟ وضح إجابتك بمثال.