ملخص تحليل الحالات الخاصة — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثانية: الجبر

بعض المقادير الجبرية لها أشكال مميزة تتكرر كثيرًا، مثل $x^2 - 9$ أو $x^2 + 6x + 9$ أو $x^3 - 8$ . إذا تعرفنا على شكل المقدار استطعنا تحليله مباشرة بقانون جاهز بدلًا من البحث والتجريب. يعرض هذا الدرس هذه الحالات الخاصة وكيف نميز كلًا منها.

أهداف التعلم

أن يتعرف الطالب على صيغة الفرق بين مربعين ويستخدمها في التحليل.
أن يتعرف الطالب على ثلاثية الحدود التي تمثل مربعًا كاملًا ويستخدمها في التحليل.
أن يحلل الطالب مجموع مكعبين وفرق مكعبين باستخدام القانونين المناسبين.
أن يميز الطالب أي حالة خاصة ينطبق عليها المقدار الجبري المعطى.

شرح الدرس

أولًا: الفرق بين مربعين

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

وينطبق هذا القانون عندما يكون المقدار عبارة عن حدين، كل منهما مربع كامل، وبينهما إشارة طرح. فمثلًا:

x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)

4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x - 5y)(2x + 5y)

ملاحظة: مجموع مربعين $a^2 + b^2$ لا يُحلل في مجموعة الأعداد الحقيقية (بخلاف الفرق).

ثانيًا: ثلاثية الحدود التي تمثل مربعًا كاملًا

a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2

a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2

تنشأ هذه الصيغ من تربيع مجموع حدين أو الفرق بينهما، ويُتعرَّف على ثلاثية الحدود أنها «مربعًا كاملًا» إذا كان الحدان الطرفيان مربعين كاملين، وكان الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذريهما التربيعيين:

x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = (x+3)^2

4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = (2x-5)^2

ثالثًا: مجموع مكعبين وفرق مكعبين

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

هاتان الصيغتان مهمتان لتحليل المقادير التي تحتوي على مكعبات كاملة. فمثلًا:

x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)

27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x-1)(9x^2 + 3x + 1)

تنبيه: لا يجوز الخلط بين $(a+b)^3$ وصيغة $a^3+b^3$ ؛ فالأولى تتضمن فك المكعب الكامل لمجموع حدين وتُعطي أربعة حدود، بينما الثانية هي تحليل لمجموع مكعبين فقط إلى عاملين.

التعرف على الحالة الخاصة المناسبة

قبل البدء في التحليل، يجب فحص المقدار الجبري لتحديد أي الصيغ تنطبق عليه:

حدان بإشارة سالبة وكلاهما مربع كامل ← فرق بين مربعين.
ثلاثة حدود، الطرفان مربعان كاملان والحد الأوسط ضعف حاصل ضرب جذريهما ← مربع كامل.
حدان وكلاهما مكعب كامل ← مجموع أو فرق مكعبين حسب الإشارة.

ملخص الحالات الخاصة

شكل المقدار	القانون
حدان مربعان كاملان بينهما طرح	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
ثلاثة حدود على صورة مربع كامل	$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
حدان مكعبان كاملان بينهما جمع	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
حدان مكعبان كاملان بينهما طرح	$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حلل $9x^2 - 16$ .

الحل: فرق بين مربعين: $9x^2 = (3x)^2$ ، $16 = 4^2$ :

9x^2 - 16 = (3x-4)(3x+4)

مثال 2: حلل $x^2 - 10x + 25$ .

الحل: نتحقق: $x^2$ و $25=5^2$ مربعان كاملان، والحد الأوسط $10x = 2(x)(5)$ ، إذن المقدار مربع كامل:

x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

مثال 3: حلل $x^3 - 64$ .

الحل: فرق مكعبين: $x^3 - 4^3$ :

x^3 - 64 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)

مثال 4: حلل تحليلًا تامًا: $2x^3 - 18x$ .

الحل: نخرج العامل المشترك أولًا، ثم نلاحظ أن ما بداخل القوس فرق بين مربعين:

2x^3 - 18x = 2x(x^2 - 9) = 2x(x - 3)(x + 3)

مثال 5: حلل تحليلًا تامًا: $x^4 - 16$ .

الحل: نطبق قانون الفرق بين مربعين مرتين:

x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)

والعامل $x^2 + 4$ مجموع مربعين فلا يُحلل.

مثال 6 (حساب ذهني): احسب $51^2 - 49^2$ .

الحل:

51^2 - 49^2 = (51 - 49)(51 + 49) = 2 \times 100 = 200

مثال 7: هل المقدار $4x^2 + 10x + 25$ مربع كامل؟

الحل: الطرفان مربعان كاملان: $4x^2 = (2x)^2$ و $25 = 5^2$ ، لكن ضعف حاصل ضرب الجذرين هو $2(2x)(5) = 20x$ وليس $10x$ ، إذن المقدار ليس مربعًا كاملًا.

ملاحظات مهمة

في المربع الكامل يجب أن يكون الحدان الطرفيان موجبين؛ فالمقدار $x^2 - 6x - 9$ ليس مربعًا كاملًا.
بعد تطبيق أي قانون، افحص العوامل الناتجة: قد يكون أحدها قابلًا للتحليل مرة أخرى كما في المثال 5.

المفاهيم الأساسية

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ ، ولا يوجد تحليل لمجموع مربعين $a^2+b^2$ .
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ .
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ و $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ .
يجب أولًا التعرف على نوع الحالة الخاصة (عدد الحدود، الإشارات، القوى) قبل تطبيق القانون المناسب.

ملخص الدرس

الفرق بين مربعين يُحلل إلى حاصل ضرب الفرق في المجموع، أما مجموع المربعين فلا يُحلل في الأعداد الحقيقية. ثلاثية الحدود التي طرفاها مربعان كاملان وحدها الأوسط ضعف حاصل ضرب جذريهما هي مربع كامل. ومجموع المكعبين أو الفرق بينهما يُحلل إلى عامل من الدرجة الأولى وعامل من الدرجة الثانية. والخطوة الأولى دائمًا هي تحديد الحالة من عدد الحدود وإشاراتها وقواها.

أسئلة للتدريب

حلل $25x^2 - 49y^2$ .
حلل $4x^2 + 12x + 9$ .
حلل $x^3 + 27$ .
حلل $16x^2 - 1$ .
حلل $8x^3 - 125$ ، ثم تحقق من الناتج بضرب العاملين.
حلل تحليلًا تامًا: $3x^2 - 75$ .
احسب ذهنيًا باستخدام الفرق بين مربعين: $103^2 - 97^2$ .