ملخص التحليل بالتقسيم — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثانية: الجبر

بعض المقادير الجبرية المكونة من أربعة حدود لا يوجد عامل مشترك بين جميع حدودها، ولا ينطبق عليها أي من الحالات الخاصة. لكن إذا جمعنا حدودها في مجموعتين مناسبتين قد يظهر عامل مشترك جديد. هذه هي فكرة التحليل بالتقسيم.

أهداف التعلم

أن يوضح الطالب فكرة التحليل بالتقسيم للمقادير ذات الأربعة حدود.
أن يقسّم الطالب المقدار الجبري إلى مجموعتين مناسبتين قبل التحليل.
أن يستخدم الطالب التحليل بالتقسيم مع ثلاثية الحدود بعد إعادة كتابة حدها الأوسط.
أن يتحقق الطالب من صحة الناتج بضرب العوامل النهائية.

شرح الدرس

فكرة التحليل بالتقسيم

التحليل بالتقسيم طريقة تُستخدم عادة مع المقادير الجبرية المكوَّنة من أربعة حدود لا يوجد بينها عامل مشترك واحد لجميع الحدود، لكن يمكن تقسيمها إلى مجموعتين (كل مجموعة حدّان) بحيث يكون لكل مجموعة عامل مشترك خاص بها، وبعد إخراج هذا العامل من كل مجموعة يظهر قوس مشترك بين المجموعتين يمكن إخراجه أيضًا.

خطوات التحليل بالتقسيم

نرتب حدود المقدار (إذا لزم الأمر) بحيث يسهل تكوين مجموعتين لكل منهما عامل مشترك.
نقسّم الحدود الأربعة إلى مجموعتين، كل مجموعة من حدين.
نُخرج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة على حدة.
إذا ظهر قوس مشترك متطابق بين المجموعتين، نُخرجه كعامل مشترك نهائي.

ac + ad + bc + bd = a(c+d) + b(c+d) = (c+d)(a+b)

التعامل مع الإشارات السالبة

عند التقسيم يجب الانتباه إلى إشارة الحد الثالث؛ فإذا كانت سالبة، يفضَّل إخراج عامل مشترك سالب من المجموعة الثانية حتى يتطابق القوس الناتج مع القوس الأول:

ac - ad - bc + bd = a(c-d) - b(c-d) = (c-d)(a-b)

لاحظ أننا أخرجنا $-b$ وليس $b$ من المجموعة الثانية حتى يصبح القوس $(c-d)$ مطابقًا للقوس الأول.

استخدام التحليل بالتقسيم مع ثلاثية الحدود

كما ذكرنا في درس تحليل ثلاثية الحدود، عند تحليل $ax^2+bx+c$ حيث $a \neq 1$ ، بعد إيجاد العددين $m, n$ (حاصل ضربهما $ac$ ومجموعهما $b$ ) نعيد كتابة الحد الأوسط في صورة $mx+nx$ ، فتتحول ثلاثية الحدود إلى أربعة حدود يمكن تحليلها بالتقسيم:

ax^2 + mx + nx + c

ثم نطبق خطوات التقسيم السابقة لإخراج القوس المشترك.

الطريقة الثانية: مربع كامل وفرق بين مربعين

إذا تكوّن المقدار من ثلاثية حدود تمثل مربعًا كاملًا وحد رابع هو مربع كامل بإشارة سالبة، نجمع الثلاثية معًا فيصبح المقدار فرقًا بين مربعين:

x^2 + 6x + 9 - y^2 = (x + 3)^2 - y^2 = (x + 3 - y)(x + 3 + y)

إكمال المربع

إكمال المربع هو إضافة حد إلى ثنائية حدود لتصبح ثلاثية حدود على صورة مربع كامل. فمثلًا $x^2 + 10x$ نضيف إليها $25$ فتصبح $(x + 5)^2$ ، و $x^2 + 36$ نضيف إليها $\pm 12x$ فتصبح $(x \pm 6)^2$ .

ونستخدمه في تحليل مقادير مثل $x^4 + 4$ : نضيف ونطرح ضعف حاصل ضرب جذري الحدين المربعين حتى لا تتغير قيمة المقدار، ثم نحلل الناتج فرقًا بين مربعين.

أهمية إعادة الترتيب

في بعض الأحيان لا تُعطى الحدود الأربعة في ترتيب يسهّل التقسيم مباشرة، فيلزم إعادة ترتيبها بحيث يصبح كل حدين متجاورين لهما عامل مشترك واضح، مع مراعاة الحفاظ على إشارة كل حد أثناء إعادة الترتيب.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حلل $xy + 3x + 2y + 6$ بالتقسيم.

الحل: نقسّم إلى مجموعتين: $(xy+3x) + (2y+6)$ :

= x(y+3) + 2(y+3) = (y+3)(x+2)

مثال 2: حلل $ax - ay - bx + by$ بالتقسيم.

الحل: نقسّم مع مراعاة الإشارة: $(ax-ay) - (bx-by)$ :

= a(x-y) - b(x-y) = (x-y)(a-b)

مثال 3: حلل $3x^2 + 11x + 6$ باستخدام التقسيم.

الحل: $a \times c = 3 \times 6 = 18$ . نبحث عن عددين حاصل ضربهما 18 ومجموعهما 11: العددان هما 9 و 2:

3x^2 + 9x + 2x + 6 = 3x(x+3) + 2(x+3) = (x+3)(3x+2)

مثال 4: حلل $6ab + 4b - 9a - 6$ بالتقسيم.

الحل:

(6ab + 4b) - (9a + 6) = 2b(3a + 2) - 3(3a + 2) = (3a + 2)(2b - 3)

مثال 5: حلل $x^2 - y^2 + 3x - 3y$ .

الحل: نجمع الحدين الأولين ونحللهما فرقًا بين مربعين، ونخرج العامل المشترك من الحدين الأخيرين:

(x - y)(x + y) + 3(x - y) = (x - y)(x + y + 3)

مثال 6: حلل تحليلًا تامًا: $a^2 - b^2 - 8b - 16$ .

الحل: الحدود الثلاثة الأخيرة تكوّن مربعًا كاملًا بعد إخراج إشارة سالبة:

a^2 - (b^2 + 8b + 16) = a^2 - (b + 4)^2 = (a - b - 4)(a + b + 4)

مثال 7: حلل: $x^4 + 4$ .

الحل: الحدان مربعان كاملان: $x^4 = (x^2)^2$ و $4 = 2^2$ ، وضعف حاصل ضرب جذريهما $2 \times x^2 \times 2 = 4x^2$ . نضيف $4x^2$ ونطرحه:

x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)

ملاحظات مهمة

قد تنجح أكثر من طريقة للتجميع؛ ففي المثال 1 يمكن أيضًا كتابة $(xy + 2y) + (3x + 6) = y(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(y + 3)$ ، والنتيجة نفسها.
إذا لم يظهر قوس مشترك بعد التجميع، جرّب ترتيبًا آخر للحدود قبل أن تحكم بأن المقدار لا يُحلل بهذه الطريقة.

المفاهيم الأساسية

التحليل بالتقسيم يُستخدم غالبًا مع مقادير من أربعة حدود.
نقسّم الحدود إلى مجموعتين، ونخرج عاملًا مشتركًا من كل مجموعة، فيظهر قوس مشترك يُخرج بدوره.
عند وجود إشارة سالبة قبل الحد الثالث، قد يلزم إخراج عامل سالب لتوحيد القوس الناتج.
يُستخدم التحليل بالتقسيم أيضًا لتحليل $ax^2+bx+c$ بعد تفكيك الحد الأوسط.
قد يلزم إعادة ترتيب الحدود قبل التقسيم لتسهيل ظهور عامل مشترك في كل مجموعة.

ملخص الدرس

في التحليل بالتقسيم نقسم حدود المقدار إلى مجموعتين، ونخرج العامل المشترك من كل مجموعة، فإذا ظهر القوس نفسه في المجموعتين أخرجناه عاملًا مشتركًا. قد نحتاج إلى إخراج عامل سالب أو إعادة ترتيب الحدود حتى يتطابق القوسان. وتُستخدم الطريقة نفسها لتحليل ثلاثية الحدود $ax^2 + bx + c$ بعد تفكيك حدها الأوسط.

أسئلة للتدريب

حلل $mx + my + nx + ny$ بالتقسيم.
حلل $2xy - 6x + 5y - 15$ بالتقسيم.
حلل $5a^2 - 10ab - 3ac + 6bc$ بالتقسيم (مع إعادة الترتيب إذا لزم).
حلل $2x^2 + 13x + 15$ باستخدام التقسيم.
تحقق من صحة التحليل $x^2 y + 2x^2 + 3y + 6 = (y+2)(x^2+3)$ بضرب العاملين.
حلل تحليلًا تامًا: $x^2 - 10x + 25 - 9y^2$ .
حلل باستخدام إكمال المربع: $4x^4 + 1$ .