أهداف التعلم

• أن يختبر الطالب زوجية دالة أو فرديتها جبريًّا.
• أن يربط بين نوع الدالة وتماثل تمثيلها البياني.
• أن يستخدم خواص مجموع الدوال الزوجية والفردية وحاصل ضربها.
• أن يحدد هل الدالة أحادية جبريًّا وباختبار الخط الأفقي.
• أن يحدد أصفار دالة ويفسر معناها البياني.
• أن يكون جدول إشارة لدالة محللة إلى عوامل.

شرح الدرس

الدالة الزوجية

تكون الدالة $f$ زوجية إذا كان مجالها متماثلًا حول الصفر، وتحقق:

لكل $x$ في مجالها. يعني ذلك أن النقطتين $(x,f(x))$ و$(-x,f(x))$ تنتميان إلى المنحنى؛ لذلك يتماثل الرسم حول محور الصادات. مثال ذلك $f(x)=x^2+2$، فإن $f(-x)=(-x)^2+2=x^2+2=f(x)$.

الدالة الفردية

تكون $f$ فردية إذا كان مجالها متماثلًا حول الصفر، وتحقق:

ويتماثل منحناها حول نقطة الأصل؛ أي إن دوران المنحنى $180^\circ$ حول نقطة الأصل يعيده إلى نفسه. فالدالة $g(x)=x^3-4x$ فردية؛ لأن $g(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)$.

ليس لازمًا أن تكون كل دالة زوجية أو فردية. فمثلًا $h(x)=x+1$ لا تحقق أيًّا من الشرطين. كما أن الدالة الصفرية $f(x)=0$ تحقق الشرطين معًا.

خواص مجموع الدوال الزوجية والفردية وحاصل ضربها

إذا كانت $f_1$ و$f_2$ دالتين زوجيتين، و$g_1$ و$g_2$ دالتين فرديتين (على مجال متماثل)، فإن:

ومن الدوال المثلثية: $\cos(-x)=\cos x$ فجيب التمام دالة زوجية، و$\sin(-x)=-\sin x$ و$\tan(-x)=-\tan x$ فالجيب والظل دالتان فرديتان. فمثلًا $x^2\sin x$ فردية لأنها حاصل ضرب زوجية في فردية، و$x\sin x$ زوجية لأنها حاصل ضرب فرديتين.

الدالة الأحادية

تكون الدالة $f$ أحادية (واحد لواحد) إذا كان كل ناتج في مداها يأتي من مدخل واحد فقط؛ أي:

فالدالة $f(x)=3x-5$ أحادية: إذا كان $3a-5=3b-5$ فإن $a=b$. أما $g(x)=x^2$ فليست أحادية لأن $g(2)=g(-2)=4$.

اختبار الخط الأفقي: تكون الدالة أحادية إذا قطع كل مستقيم أفقي منحناها في نقطة واحدة على الأكثر. فالمستقيم $y=4$ يقطع منحنى $y=x^2$ في نقطتين، لذلك هي ليست أحادية.

أصفار الدالة

صفر الدالة هو كل عدد $a$ من مجالها يحقق $f(a)=0$. وبيانيًّا يمثل صفر الدالة الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المنحنى مع محور السينات. لإيجاد الأصفار نحل المعادلة $f(x)=0$ مع مراعاة مجال الدالة.

إذا كانت $f(x)=(x-2)(x+3)$، فإن صفريها $2$ و$-3$. أما في $r(x)=\dfrac{x-2}{x+3}$ فإن $2$ وحده صفر للدالة، بينما $-3$ قيمة مستبعدة من المجال وليست صفرًا.

إشارة الدالة

تكون $f(x)$ موجبة عندما يقع منحناها فوق محور السينات، وسالبة عندما يقع تحته، وتساوي صفرًا عند نقاط التقاطع. لتحليل الإشارة نحدد الأصفار والقيم المستبعدة، ونقسم خط الأعداد إلى فترات، ثم نختبر قيمة واحدة من كل فترة.

أسئلة للتدريب

1. حدد نوع $f(x)=x^6-2x^2$ من حيث الزوجية والفردية.
2. أثبت أن $g(x)=x^5+2x$ دالة فردية.
3. هل $h(x)=x^2+x$ زوجية أم فردية أم ليست أيًّا منهما؟ فسر.
4. أوجد أصفار $p(x)=x^2-x-6$.
5. حلل إشارة $q(x)=(x-4)(x+1)$ على خط الأعداد.
6. بيّن نوع الدالة $f(x)=x^3\cos x$ من حيث الزوجية والفردية دون التعويض المباشر.
7. أثبت أن $f(x)=\frac{2x+1}{3}$ دالة أحادية، وبيّن لماذا لا تكون $g(x)=|x|$ أحادية.