أهداف التعلم

• أن يحل الطالب معادلة مقياس بيانيًّا بإيجاد نقاط تقاطع منحنيين.
• أن يحل الطالب معادلات المقياس جبريًّا بالصور $|ax+b|=c$ و$|ax+b|=cx+d$ و$|ax+b|=|cx+d|$.
• أن يستخدم الطالب خواص المقياس في تبسيط المقادير وحل المعادلات.
• أن يحل الطالب متباينات المقياس ويكتب مجموعة الحل على صورة فترات.

شرح الدرس

الحل البياني للمعادلة

لحل المعادلة $f(x)=g(x)$ بيانيًّا نرسم المنحنيين $y=f(x)$ و$y=g(x)$ في شكل واحد. الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع هي عناصر مجموعة الحل؛ فإذا لم يتقاطع المنحنيان كانت مجموعة الحل $\varnothing$.

في الشكل يتقاطع منحنى $y=|x-3|$ مع المستقيم $y=5$ في النقطتين $(-2,5)$ و$(8,5)$، إذن مجموعة حل $|x-3|=5$ هي $\{-2,8\}$.

الحل الجبري للمعادلة $|ax+b|=c$

• إذا كان $c<0$ فلا حل؛ لأن المقياس لا يكون سالبًا.
• إذا كان $c=0$ فإن $ax+b=0$ فقط.
• إذا كان $c>0$ فإن $ax+b=c$ أو $ax+b=-c$.

مثلًا: $|2x+1|=7$ تعطي $2x+1=7$ فتكون $x=3$، أو $2x+1=-7$ فتكون $x=-4$. مجموعة الحل $\{-4,3\}$.

المعادلة $|ax+b|=cx+d$

هنا الطرف الأيمن قد يكون سالبًا لبعض قيم $x$، لذلك نحل الحالتين ثم نتحقق من كل ناتج بالتعويض، ونرفض ما لا يحقق المعادلة الأصلية. مثال: $|x-4|=2x+1$.

• الحالة الأولى: $x-4=2x+1$ فتكون $x=-5$. التحقق: الطرف الأيمن $2(-5)+1=-9<0$، فالحل مرفوض.
• الحالة الثانية: $x-4=-(2x+1)$ فتكون $3x=3$ و$x=1$. التحقق: $|1-4|=3$ و$2(1)+1=3$. مقبول.

مجموعة الحل $\{1\}$.

المعادلة $|ax+b|=|cx+d|$

يتساوى مقياسا عددين إذا كانا متساويين أو متعاكسين: $ax+b=cx+d$ أو $ax+b=-(cx+d)$. فمثلًا $|x+7|=|x-5|$ تعطي $x+7=x-5$ (مستحيلة) أو $x+7=-x+5$، أي $x=-1$. مجموعة الحل $\{-1\}$.

خواص مقياس العدد

لكل $a,b\in\mathbb{R}$:

• $|ab|=|a|\,|b|$، مثل $|-3\times 2|=|-3|\times|2|=6$.
• $|a+b|\le|a|+|b|$، ويحدث التساوي إذا كان للعددين الإشارة نفسها (أو كان أحدهما صفرًا).
• $\sqrt{x^2}=|x|$، و$|x|^2=x^2$.
• إذا كان $|x|=x$ فإن $x\ge0$، وإذا كان $|x|=-x$ فإن $x\le0$.

الخاصية $\sqrt{x^2}=|x|$ مفيدة في المعادلات التي تحتوي جذرًا تربيعيًّا لمربع كامل؛ فمثلًا $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.

حل المتباينات بيانيًّا

لحل $f(x)<g(x)$ نبحث عن قيم $x$ التي يكون عندها منحنى $f$ أسفل منحنى $g$، ولحل $f(x)>g(x)$ نبحث عن القيم التي يكون عندها منحنى $f$ أعلى. فمن الشكل السابق: $|x-3|<5$ عندما $x\in(-2,8)$، و$|x-3|>5$ عندما $x\in(-\infty,-2)\cup(8,\infty)$.

حل المتباينات جبريًّا

لأي عدد $a>0$:

• $|x|<a$ تكافئ $-a<x<a$ (فترة واحدة بين عددين).
• $|x|>a$ تكافئ $x>a$ أو $x<-a$ (فترتان متباعدتان).

وتنطبق القاعدتان على $\le$ و$\ge$ مع إدخال الطرفين.

أسئلة للتدريب

1. حل بيانيًّا وجبريًّا: $|x+2|=3$.
2. أوجد مجموعة حل $|3x-1|=x+5$، وتحقق من الحلول.
3. أوجد مجموعة حل $|2x-1|=|x+4|$.
4. أوجد على صورة فترة مجموعة حل $|x-6|<2$، ثم مجموعة حل $|x-6|\ge2$.
5. اكتب متباينة قيمة مطلقة مجموعة حلها الفترة $[-1,7]$.