أهداف التعلم

• أن يتعرف الطالب الدالة الأسية ويميزها من الدالة الجبرية.
• أن يمثل الطالب الدالة الأسية بيانيًّا ويستنتج خواصها.
• أن يحدد الطالب ما إذا كانت الدالة الأسية تزايدية أو تناقصية من أساسها.
• أن يكتب الطالب دالة نمو أو تضاؤل أسي لموقف حياتي ويحسب قيمها.
• أن يحسب الطالب جملة مبلغ بفائدة مركبة.

شرح الدرس

تعريف الدالة الأسية

إذا كان $a$ عددًا حقيقيًّا موجبًا و$a\ne1$، فإن الدالة $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+}$ حيث $f(x)=a^x$ تسمى دالة أسية أساسها $a$.

• $f(x)=3^x$ دالة أسية أساسها $3$.
• $f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x$ دالة أسية أساسها $\frac{1}{4}$.
• $f(x)=x^3$ ليست دالة أسية؛ فالمتغير هنا هو الأساس لا الأس (دالة كثيرة حدود).
• $f(x)=1^x$ ليست دالة أسية لأن الأساس $1$ يجعلها ثابتة.

لماذا نشترط $a>0$؟ لأن قيمًا مثل $(-4)^{\frac{1}{2}}$ غير معرفة في الأعداد الحقيقية.

التمثيل البياني

نكوّن جدولًا لقيم $y=2^x$ و$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$:

خواص الدالة الأسية $f(x)=a^x$

1. المجال $\mathbb{R}$، والمدى $(0,\infty)$؛ فالدالة موجبة دائمًا ولا يقطع منحناها محور السينات.
2. يمر المنحنى دائمًا بالنقطة $(0,1)$ لأن $a^0=1$.
3. إذا كان $a>1$ فالدالة تزايدية على $\mathbb{R}$ وتسمى دالة نمو. وإذا كان $0<a<1$ فهي تناقصية وتسمى دالة تضاؤل.
4. الدالة أحادية: إذا كان $a^{x_1}=a^{x_2}$ فإن $x_1=x_2$.
5. منحنى $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ هو صورة منحنى $y=a^x$ بالانعكاس في محور الصادات؛ لأن $\left(\frac{1}{a}\right)^x=a^{-x}$.
6. محور السينات خط تقارب أفقي: عندما $a>1$ تقترب $a^x$ من الصفر كلما تحرك $x$ نحو $-\infty$.

ويمكن استخدام التحويلات الهندسية: منحنى $y=2^{x-1}+3$ هو منحنى $y=2^x$ بإزاحة وحدة لليمين و$3$ وحدات لأعلى، فيصبح مداه $(3,\infty)$ وخط تقاربه $y=3$.

النمو الأسي

إذا زادت كمية ابتدائية $A$ بنسبة مئوية ثابتة $r$ في كل فترة زمنية، فإن قيمتها بعد $n$ فترة هي:

التضاؤل الأسي

وإذا نقصت بنسبة ثابتة $r$ في كل فترة فإن:

الربح المركب

إذا استُثمر مبلغ $A$ بفائدة سنوية مركبة نسبتها $r$، وكانت الفائدة تضاف $m$ مرة في السنة، فإن جملة المبلغ بعد $n$ سنة هي:

أسئلة للتدريب

1. بيّن أي الدوال الآتية أسية: $f(x)=5^x$، $g(x)=x^5$، $h(x)=(-2)^x$، $k(x)=\left(\frac{3}{4}\right)^{x}$.
2. ارسم منحنى $f(x)=3^x$ على الفترة $[-2,2]$، ومنه ارسم منحنى $g(x)=3^x-2$ وحدد مداه.
3. هل الدالة $f(x)=\left(\frac{5}{2}\right)^{x}$ تزايدية أم تناقصية؟ فسّر.
4. تتكاثر خلايا بنسبة $20\%$ كل يوم، وكان عددها في البداية $500$ خلية. اكتب الدالة الأسية التي تعطي العدد بعد $n$ يوم، واحسب العدد بعد $3$ أيام.
5. أُودع $8000$ جنيه بفائدة مركبة $10\%$ سنويًّا تضاف كل ربع سنة. اكتب علاقة الجملة بعد $n$ سنة.