ملخص الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

نعرف كيف نحسب $2^5=32$ . لكن ماذا لو سألنا السؤال المعاكس: ما الأس الذي نرفع إليه $2$ لنحصل على $32$ ؟ الإجابة $5$ ، ونكتبها $\log_2 32=5$ . اللوغاريتم إذن هو الأس. وبما أن الدالة الأسية أحادية فلها دالة عكسية، وهذه الدالة العكسية هي الدالة اللوغاريتمية.

أهداف التعلم

أن يعرّف الطالب اللوغاريتم والدالة اللوغاريتمية بوصفها عكس الدالة الأسية.
أن يحوّل الطالب بين الصورة الأسية والصورة اللوغاريتمية.
أن يحسب الطالب قيمة لوغاريتم عدد لأساس معلوم، ويستخدم اللوغاريتمات المعتادة.
أن يحل الطالب معادلات لوغاريتمية بسيطة مع مراعاة مجال التعريف.
أن يمثل الطالب الدالة اللوغاريتمية بيانيًّا ويستنتج خواصها.

شرح الدرس

تعريف اللوغاريتم

إذا كان $a>0$ و $a\ne1$ و $x>0$ ، فإن:

y=\log_a x\iff x=a^{y}

ونقرأ $\log_a x$ : «لوغاريتم $x$ للأساس $a$ ». الصورة $x=a^y$ تسمى الصورة الأسية، والصورة $y=\log_a x$ تسمى الصورة اللوغاريتمية.

التحويل بين الصورتين

الصورة الأسية	الصورة اللوغاريتمية
$3^4=81$	$\log_3 81=4$
$10^{-2}=0.01$	$\log_{10} 0.01=-2$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$	$\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$
$16^{\frac{1}{2}}=4$	$\log_{16}4=\frac{1}{2}$

اللوغاريتمات المعتادة

إذا كان الأساس $10$ يسمى اللوغاريتم معتادًا، ويُكتب دون أساس: $\log 1000=3$ لأن $10^3=1000$ . وتحسب الآلة الحاسبة اللوغاريتمات المعتادة بالمفتاح $\log$ .

نتائج مباشرة من التعريف

لكل $a>0$ و $a\ne1$ :

$\log_a 1=0$ لأن $a^0=1$ .
$\log_a a=1$ لأن $a^1=a$ .
$\log_a a^{n}=n$ ، و $a^{\log_a x}=x$ لكل $x>0$ .
لا يوجد لوغاريتم للصفر ولا للأعداد السالبة، لأن $a^y>0$ دائمًا.

حساب قيمة لوغاريتم

لحساب $\log_a b$ نضعه مساويًا $y$ ونحوّله إلى الصورة الأسية ثم نوحد الأساس. مثال: $\log_{27}9=y$ تعني $27^{y}=9$ ، أي $3^{3y}=3^{2}$ ، فتكون $y=\frac{2}{3}$ .

الدالة اللوغاريتمية

الدالة $f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}$ حيث $f(x)=\log_a x$ ( $a>0$ ، $a\ne1$ ) هي الدالة العكسية للدالة الأسية $g(x)=a^x$ . لذلك:

مجالها $(0,\infty)$ ، ومداها $\mathbb{R}$ (مجال الأسية ومداها متبادلان).
يمر منحناها بالنقطة $(1,0)$ ، ولا يقطع محور الصادات؛ فمحور الصادات خط تقارب رأسي له.
إذا كان $a>1$ فهي تزايدية، وإذا كان $0<a<1$ فهي تناقصية.
منحناها صورة منحنى $y=a^x$ بالانعكاس في المستقيم $y=x$ .

منحنى y يساوي 2 أس x ومنحنى y يساوي لوغاريتم x للأساس 2 متماثلان حول المستقيم y يساوي x؛ الأول يمر بالنقطة صفر وواحد والثاني بالنقطة واحد وصفر

إيجاد مجال دالة لوغاريتمية

لأن اللوغاريتم معرّف للأعداد الموجبة فقط، نشترط أن يكون ما بداخل اللوغاريتم موجبًا، وأن يكون الأساس موجبًا لا يساوي $1$ . مثلًا مجال $f(x)=\log_3(x-2)$ هو $(2,\infty)$ لأن $x-2>0$ .

حل معادلات لوغاريتمية بسيطة

نحوّل المعادلة إلى الصورة الأسية، ثم نتحقق أن كل حل يقع في مجال التعريف.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد قيمة: (أ) $\log_2 \frac{1}{16}$ ، (ب) $\log 0.001$ ، (ج) $\log_{\sqrt{3}}9$ .

(أ) $2^{y}=2^{-4}$ إذن القيمة $-4$ . (ب) $10^{y}=10^{-3}$ إذن القيمة $-3$ . (ج) $\left(\sqrt{3}\right)^{y}=3^{\frac{y}{2}}=3^{2}$ إذن $y=4$ .

مثال 2: حل $\log_5(2x+3)=2$ .

$2x+3=5^2=25$ ، إذن $x=11$ . التحقق: $2(11)+3=25>0$ . مجموعة الحل $\{11\}$ .

مثال 3: حل $\log_{x}49=2$ .

$x^2=49$ فتكون $x=\pm7$ ، لكن الأساس يجب أن يكون موجبًا ولا يساوي $1$ ؛ فتُرفض $-7$ . مجموعة الحل $\{7\}$ .

مثال 4: حل $\log_2\left(x^2-x\right)=1$ .

$x^2-x=2$ ، أي $x^2-x-2=0$ و $(x-2)(x+1)=0$ ، فتكون $x=2$ أو $x=-1$ . التحقق: عند $x=2$ : $4-2=2>0$ مقبول، وعند $x=-1$ : $1+1=2>0$ مقبول. مجموعة الحل $\{-1,2\}$ .

مثال 5: ارسم $y=\log_2 x$ باستخدام جدول قيم.

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\log_2 x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

هذه القيم هي قيم جدول $y=2^x$ بعد تبديل الصفين، ولذلك يظهر المنحنيان متماثلين حول $y=x$ .

ملاحظات مهمة

اللوغاريتم أس: $\log_a x$ هو العدد الذي نرفع إليه $a$ لنحصل على $x$ .
$\log_a x$ معرّف فقط عندما $x>0$ و $a>0$ و $a\ne1$ .
اللوغاريتم قد يكون سالبًا أو صفرًا (مثل $\log 0.1=-1$ )، لكن ما بداخله لا يكون كذلك.
تحقق دائمًا من الحلول في المعادلات اللوغاريتمية.

المفاهيم الأساسية

$y=\log_a x\iff x=a^y$ ، و $\log x$ تعني $\log_{10}x$ .
$\log_a1=0$ ، $\log_a a=1$ ، $\log_a a^n=n$ .
الدالة اللوغاريتمية عكس الدالة الأسية: مجالها $(0,\infty)$ ومداها $\mathbb{R}$ ، ومنحناها يمر بـ $(1,0)$ .
مجال $\log_a u(x)$ هو مجموعة قيم $x$ التي تجعل $u(x)>0$ .

ملخص الدرس

اللوغاريتم يجيب عن سؤال «ما الأس؟». وكل عبارة لوغاريتمية يمكن كتابتها أسية والعكس، وهذا التحويل هو المفتاح لحساب اللوغاريتمات وحل المعادلات البسيطة. والدالة اللوغاريتمية هي عكس الدالة الأسية، فمنحناها انعكاس لمنحنى الأسية في المستقيم $y=x$ ، ومجالها الأعداد الموجبة فقط.

أسئلة للتدريب

حوّل إلى الصورة اللوغاريتمية: $7^{2}=49$ ، $5^{-3}=\frac{1}{125}$ ، $8^{\frac{1}{3}}=2$ .
حوّل إلى الصورة الأسية: $\log_{4}64=3$ ، $\log 0.01=-2$ .
أوجد قيمة: $\log_{3}\frac{1}{81}$ و $\log_{8}4$ و $\log_{\frac{1}{3}}27$ .
أوجد مجال الدالة $f(x)=\log_{2}(6-2x)$ .
حل: $\log_{3}(x+4)=2$ ، ثم $\log_{x}8=3$ .