ملخص نهاية الدوال المثلثية — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: النهايات والاتصال

إذا عوضنا بـ $x=0$ في $\frac{\sin x}{x}$ نحصل على $\frac{0}{0}$ ، ولا نستطيع هنا التحليل كما في كثيرات الحدود. لكن الآلة الحاسبة (بوضع الراديان) تكشف شيئًا لافتًا: $\frac{\sin 0.1}{0.1}\approx0.9983$ ، و $\frac{\sin 0.01}{0.01}\approx0.99998$ . القيم تقترب من $1$ . هذه النهاية أساس حساب كل نهايات الدوال المثلثية.

في هذا الدرس نكتب الجيب $\sin$ (جا)، وجيب التمام $\cos$ (جتا)، والظل $\tan$ (ظا).

أهداف التعلم

أن يستنتج الطالب عدديًّا وبيانيًّا أن $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ .
أن يستخدم الطالب النهايتين الأساسيتين للجيب والظل ونتائجهما.
أن يوجد الطالب نهايات دوال مثلثية بإعادة كتابتها باستخدام المتطابقات.
أن يدرك الطالب أهمية قياس الزاوية بالتقدير الدائري في هذه النهايات.

شرح الدرس

التقدير العددي والبياني

$x$ (راديان)	$\pm1$	$\pm0.1$	$\pm0.01$	$0$
$\frac{\sin x}{x}$	$0.8415$	$0.9983$	$0.99998$	غير معرّفة

القيم متماثلة عند $x$ و $-x$ لأن $\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}$ ، وتقترب من $1$ من الجهتين.

منحنى y يساوي جا س على س يقترب من الارتفاع 1 عند س تقترب من الصفر مع نقطة مفرغة عند صفر وواحد

النظرية

إذا كان $x$ قياس زاوية بالتقدير الدائري فإن:

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1

وتنتج نهاية الظل من نهاية الجيب؛ لأن $\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\times\frac{1}{\cos x}$ و $\cos0=1$ .

لماذا الراديان؟ لو قيست الزاوية بالدرجات لكان $\lim_{x\to0}\frac{\sin x^{\circ}}{x}=\frac{\pi}{180}$ وليس $1$ .

نتائج مهمة

لأي ثابتين $a$ و $b$ غير صفريين:

\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{x}=a,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{x}=a,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b},\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{bx}=\frac{a}{b}

فكرة الإثبات: نضرب ونقسم على $a$ لنجعل الزاوية والمقام متطابقين:

\frac{\sin ax}{x}=a\times\frac{\sin ax}{ax}\to a\times1=a

ونتيجة أخرى باستخدام المرافق والمتطابقة $\sin^2x+\cos^2x=1$ :

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}

بيان الثانية: نضرب في المرافق $1+\cos x$ :

\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\times\frac{1}{1+\cos x}\to1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

خطوات الحل

عوّض مباشرة؛ إذا لم تظهر $\frac{0}{0}$ فالناتج هو النهاية.
إذا ظهرت $\frac{0}{0}$ فأعد ترتيب الدالة لتظهر الصور $\frac{\sin ax}{ax}$ أو $\frac{\tan ax}{ax}$ .
استخدم المتطابقات عند الحاجة: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ، و $\sin^2x=1-\cos^2x$ ، و $\sin2x=2\sin x\cos x$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: $\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}=5$ .

مثال 2: $\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{2x}$ .

$\frac{3}{2}\times\frac{\sin3x}{3x}\to\frac{3}{2}$ .

مثال 3: $\lim_{x\to0}\frac{\tan 4x}{\sin 2x}$ .

نقسم البسط والمقام على $x$ : $\frac{\frac{\tan4x}{x}}{\frac{\sin2x}{x}}\to\frac{4}{2}=2$ .

مثال 4: $\lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}3x}{x^{2}}$ .

$\left(\frac{\sin3x}{x}\right)^{2}\to3^{2}=9$ .

مثال 5: $\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1-\cos x}$ .

هذه مقلوب النتيجة السابقة، فالنهاية $\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$ .

مثال 6: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x+\tan x}{x}$ .

$\frac{\sin x}{x}+\frac{\tan x}{x}\to1+1=2$ .

مثال 7: $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{\sin x}$ .

$\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x\to2$ . (أو بالنتيجة $\frac{a}{b}=\frac{2}{1}$ .)

ملاحظات مهمة

النهايات الأساسية صحيحة عندما تقترب الزاوية من الصفر والقياس بالراديان.
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ لكن $\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{x}$ غير موجودة (الصورة $\frac{1}{0}$ ).
$\frac{\sin ax}{x}$ تساوي $a$ وليس $1$ ؛ الزاوية والمقام يجب أن يتطابقا لتكون النتيجة $1$ .
$\sin^2 x$ تعني $(\sin x)^2$ .

المفاهيم الأساسية

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$ (بالتقدير الدائري).
$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{bx}=\frac{a}{b}$ .
$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$ .
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ و $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ .

ملخص الدرس

نهايات الدوال المثلثية عند الصفر تُبنى كلها على حقيقة واحدة: نسبة جيب الزاوية الصغيرة إلى قياسها بالراديان تقترب من $1$ ، وكذلك نسبة ظلها. وبالضرب والقسمة المناسبين وبالمتطابقات المثلثية نحوّل النهايات الأعقد إلى هذه الصورة الأساسية.

أسئلة للتدريب

أوجد $\lim_{x\to0}\frac{\sin7x}{3x}$ .
أوجد $\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{\tan5x}$ .
أوجد $\lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{1-\cos x}$ .
أوجد $\lim_{x\to0}\frac{3x-\sin x}{x}$ .
أوجد $\lim_{x\to0}\frac{\sin x\cos x}{2x}$ .