ملخص قانون قاعدة جيب التمام — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: حساب المثلثات

قاعدة الجيب لا تساعدنا إذا عرفنا ضلعين والزاوية بينهما، ولا إذا عرفنا الأضلاع الثلاثة فقط؛ لأننا لا نملك زوجًا متقابلًا من ضلع وزاوية. مثلًا: سفينتان تنطلقان من ميناء واحد في اتجاهين بينهما زاوية معلومة، فكم تبعد إحداهما عن الأخرى بعد ساعتين؟ هنا نحتاج إلى قاعدة جيب التمام، وهي تعميم لنظرية فيثاغورث على أي مثلث.

أهداف التعلم

أن يستنتج الطالب قاعدة جيب التمام ويكتب صورها الثلاث.
أن يوجد الطالب طول ضلع بمعلومية طولي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
أن يوجد الطالب قياسات زوايا مثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاثة.
أن يحدد الطالب نوع المثلث (حاد الزوايا، قائم، منفرج) من أطوال أضلاعه.
أن يحل الطالب المثلث مستخدمًا القاعدتين معًا في مسائل حياتية.

شرح الدرس

نص القاعدة

في أي مثلث $ABC$ :

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

b^2=a^2+c^2-2ac\cos B

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

أي أن مربع طول أي ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

العلاقة بنظرية فيثاغورث

إذا كانت $C$ قائمة فإن $\cos90^{\circ}=0$ ، فتصبح القاعدة $c^2=a^2+b^2$ ، وهي نظرية فيثاغورث. لذلك يمكن النظر إلى الحد $-2ab\cos C$ على أنه «تصحيح» لفيثاغورث في المثلث غير القائم. ويمكن استنتاج القاعدة برسم ارتفاع من أحد الرءوس وتطبيق فيثاغورث في المثلثين القائمين الناتجين، ثم استخدام $\sin^2A+\cos^2A=1$ .

مثلث رءوسه A وB وC، والضلع a يقابل الزاوية A، والضلع b يقابل الزاوية B، والضلع c يقابل الزاوية C

صورة القاعدة لإيجاد الزوايا

بإعادة ترتيب القاعدة:

\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\qquad \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\qquad \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

إشارة جيب التمام تحدد نوع الزاوية:

$\cos A>0$ : الزاوية $A$ حادة.
$\cos A=0$ : الزاوية $A$ قائمة.
$\cos A<0$ : الزاوية $A$ منفرجة.

ولمعرفة نوع المثلث يكفي فحص الزاوية المقابلة لأكبر ضلع.

أي القاعدتين نستخدم؟

المعلوم	القاعدة المناسبة
ضلع وزاويتان	قاعدة الجيب
ضلعان والزاوية المحصورة بينهما	قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع الثالث
الأضلاع الثلاثة	قاعدة جيب التمام لإيجاد الزوايا

وبعد إيجاد عنصر بقاعدة جيب التمام يمكن إكمال الحل بقاعدة الجيب، أو بجيب التمام مرة أخرى (وهو أدق لتحديد الزوايا المنفرجة).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلث $ABC$ : $b=5$ سم، $c=8$ سم، $m(\angle A)=60^{\circ}$ . أوجد $a$ .

a^2=25+64-2(5)(8)\cos60^{\circ}=89-40=49\ \Rightarrow\ a=7\ \text{سم}

مثال 2: مثلث أطوال أضلاعه $a=7$ سم، $b=8$ سم، $c=13$ سم. أوجد قياس أكبر زاوية فيه.

أكبر زاوية تقابل أكبر ضلع $c$ :

\cos C=\frac{49+64-169}{2\times7\times8}=\frac{-56}{112}=-\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ m(\angle C)=120^{\circ}

إذن المثلث منفرج الزاوية.

مثال 3: حدد نوع المثلث الذي أطوال أضلاعه $6$ و $8$ و $9$ سم.

نفحص الزاوية المقابلة لأكبر ضلع ( $9$ ): $\cos\theta=\frac{36+64-81}{2\times6\times8}=\frac{19}{96}>0$ . إذن أكبر زاوية حادة، والمثلث حاد الزوايا.

مثال 4 (حل مثلث): في المثلث $ABC$ : $a=10$ سم، $b=7$ سم، $m(\angle C)=50^{\circ}$ . حل المثلث.

c^2=100+49-140\cos50^{\circ}\approx149-89.99=59.01\ \Rightarrow\ c\approx7.68\ \text{سم}

\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\approx\frac{100+59.01-49}{2\times10\times7.68}\approx0.7162\ \Rightarrow\ m(\angle B)\approx44.3^{\circ}

$m(\angle A)\approx180^{\circ}-50^{\circ}-44.3^{\circ}=85.7^{\circ}$ .

مثال 5 (تطبيق): انطلقت سفينتان من ميناء في الوقت نفسه، الأولى بسرعة $20$ كم/ساعة والثانية بسرعة $15$ كم/ساعة، والزاوية بين اتجاهيهما $70^{\circ}$ . كم تبعد السفينتان بعد ساعتين؟

قطعت الأولى $40$ كم والثانية $30$ كم:

d^2=40^2+30^2-2(40)(30)\cos70^{\circ}\approx2500-820.8=1679.2\ \Rightarrow\ d\approx41.0\ \text{كم}

ملاحظات مهمة

الزاوية في القاعدة هي الزاوية المحصورة بين الضلعين، والمقابلة للضلع المطلوب.
إذا كانت الزاوية منفرجة فإن $\cos$ سالب، فيصبح الحد $-2bc\cos A$ موجبًا ويزيد طول الضلع.
عند إيجاد زاوية من الأضلاع ابدأ بأكبر زاوية؛ فإن كانت حادة كانت الأخريان حادتين.
تحقق في النهاية أن مجموع قياسات الزوايا $180^{\circ}$ (مع فرق تقريب بسيط).

المفاهيم الأساسية

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ وصورتاها المناظرتان.
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ .
إشارة جيب تمام الزاوية المقابلة لأكبر ضلع تحدد نوع المثلث.
نستخدم جيب التمام مع ضلعين وزاوية محصورة، أو مع الأضلاع الثلاثة.

ملخص الدرس

قاعدة جيب التمام تعمم نظرية فيثاغورث على أي مثلث، فتربط الأضلاع الثلاثة بإحدى الزوايا. نستخدمها لإيجاد ضلع مقابل لزاوية محصورة بين ضلعين معلومين، ولإيجاد الزوايا عندما تكون الأضلاع الثلاثة معلومة، ومنها نعرف نوع المثلث. ومع قاعدة الجيب تصبح لدينا أداة لحل أي مثلث.

أسئلة للتدريب

في المثلث $ABC$ : $a=4$ سم، $b=6$ سم، $m(\angle C)=120^{\circ}$ . أوجد $c$ .
مثلث أطوال أضلاعه $5$ و $7$ و $8$ سم. أوجد قياس الزاوية المقابلة للضلع $7$ .
حدد نوع المثلث الذي أطوال أضلاعه $4$ و $5$ و $7$ سم.
قطعة أرض مثلثة الشكل، طولا ضلعين فيها $60$ مترًا و $45$ مترًا، والزاوية بينهما $80^{\circ}$ . أوجد طول الضلع الثالث ومساحة الأرض.
في المثلث $ABC$ أثبت أن: $a^2+b^2+c^2=2(bc\cos A+ac\cos B+ab\cos C)$ .