ملخص متجهات السرعة والسرعة النسبية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الأول: الميكانيكا (القوى والحركة)

يوجّه قائد معدية مقدمتها نحو المرسى المقابل مباشرة على ضفة النيل، ولا يغيّر اتجاهها ولا سرعة محركها، ومع ذلك ترسو المعدية أسفل المرسى في اتجاه جريان الماء. وفي يوم ممطر يسقط المطر رأسيًّا، لكن راكب الحافلة يرى خطوطه مائلة على زجاج النافذة. الظاهرتان تفسّرهما فكرة واحدة: السرعة كمية متجهة، فالسرعات تُجمع وتُطرح بالاتجاه لا بالأرقام وحدها.

أهداف التعلم

أن تشرح كيف تتحد سرعتان في سرعة محصلة واحدة بطريقة «الذيل على الرأس».
أن تحلل سرعة إلى مركبتين متعامدتين، ثم تعيد تركيبهما لإيجاد المقدار والاتجاه.
أن تحسب زمن عبور نهر ومقدار انجراف القارب مع التيار.
أن تحسب سرعة جسم كما يرصدها مراقب متحرك (السرعة النسبية).

شرح الدرس

السرعة كمية متجهة

السرعة تحدد مقدار سرعة الجسم واتجاه حركته معًا، لذلك نرسمها سهمًا: طوله يمثل المقدار واتجاهه يمثل اتجاه الحركة. إذا تحرك جسم بسرعتين في آن واحد، مثل قارب يدفعه محركه وفي الوقت نفسه يحمله التيار، فإننا نرسم السهمين ذيلًا على رأس؛ فيكون السهم الواصل من ذيل الأول إلى رأس الثاني هو السرعة المحصلة:

\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2

وتُسمى هذه العملية جمع السرعات. لا يجوز جمع المقادير جمعًا عاديًّا إلا إذا كانت السرعتان على خط واحد؛ فسرعتان متعامدتان مقداراهما 3 و4 م/ث محصلتهما 5 م/ث لا 7 م/ث، لأنهما ضلعا مثلث قائم.

رسمان: الأول قارب يعبر النهر فيه سهم أزرق لسرعة القارب عبر النهر وسهم أخضر لسرعة التيار مرسوم من رأسه وسهم أحمر للمحصلة يتجه مائلًا نحو أسفل مجرى النهر، والثاني مطر يسقط رأسيًّا يُطرح منه سهم سرعة الحافلة فتظهر سرعة المطر بالنسبة للحافلة مائلة إلى الخلف

تحليل السرعة إلى مركبتين

العملية العكسية للجمع هي التحليل: أي سرعة $v$ تصنع زاوية $\theta$ مع المحور الأفقي يمكن استبدالها بمركبتين متعامدتين:

v_x = v\cos\theta \qquad v_y = v\sin\theta

وإذا عرفنا المركبتين نعيد تركيب المقدار والاتجاه:

v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}} \qquad \tan\theta = \frac{v_y}{v_x}

نعطي كل مركبة إشارة موجبة أو سالبة بحسب اتجاهها على المحور. والقاعدة الذهبية: حلّل، واعمل على كل محور وحده، ثم أعد التركيب.

عبور النهر

عندما يوجّه القارب مقدمته عموديًّا على الضفة:

المركبة العمودية على الضفة (سرعة القارب في الماء الساكن) هي وحدها التي تحدد زمن العبور: $t = \frac{d}{v_1}$ حيث $d$ عرض النهر.
المركبة الموازية للضفة (سرعة التيار) لا تغيّر زمن العبور، لكنها تسبب الانجراف: $x = v_2\,t$ .

لذلك لو زادت سرعة التيار بقي زمن العبور كما هو، وزاد فقط بُعد نقطة الوصول عن المرسى المقصود.

السرعة النسبية: ماذا يرى المراقب المتحرك؟

القياس يعتمد على حركة من يقيس. إذا كانت سرعة الجسم A بالنسبة للأرض $\vec{v}_A$ وسرعة الجسم B بالنسبة للأرض $\vec{v}_B$ ، فإن سرعة B كما يراها مراقب على A هي:

\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A

أي سرعة المرصود ناقص سرعة المراقب، ونرسم السهمين من نقطة بداية واحدة. في مثال الحافلة: المطر يسقط رأسيًّا بالنسبة للأرض، وبطرح سرعة الحافلة (أي إضافة سهم معاكس لها) تصبح سرعة المطر بالنسبة للحافلة مائلة إلى الخلف ولأسفل، فيبدو للراكب كأنه يأتي من أمام الحافلة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (عبور النهر): قارب سرعته في الماء الساكن 2.4 م/ث يوجّه مقدمته عموديًّا على ضفتي نهر عرضه 120 م، وسرعة التيار 1.0 م/ث. أوجد سرعة القارب بالنسبة للضفة، وزمن العبور، ومقدار الانجراف.

\begin{aligned} v &= \sqrt{2.4^{2} + 1.0^{2}} \\ &= \sqrt{5.76 + 1} \\ &= \sqrt{6.76} \\ &= 2.6 \end{aligned}

أي إن سرعة القارب بالنسبة للضفة 2.6 م/ث.

زمن العبور تحدده المركبة العمودية فقط: $t = \frac{120}{2.4} = 50$ ث. والانجراف: $x = 1.0 \times 50 = 50$ م أسفل المرسى المقابل.

تحقق من المعقولية: الناتج 2.6 م/ث أكبر من أكبر المركبتين (2.4) وأصغر من مجموعهما (3.4)، وهذا متوقع لسرعتين متعامدتين.

مثال 2 (تحليل السرعة): تصعد طائرة مسيّرة بسرعة ثابتة 12 م/ث في اتجاه يصنع 60° مع الأفقي. كم ترتفع في 5 ث؟

المركبة الرأسية: $v_y = 12\sin 60^\circ \approx 10.4$ م/ث، فالارتفاع $\approx 10.4 \times 5 = 52$ م. والمركبة الأفقية $v_x = 12\cos 60^\circ = 6$ م/ث، فتتقدم أفقيًّا 30 م في الزمن نفسه.

مثال 3 (المطر والحافلة): يسقط المطر رأسيًّا بسرعة 6 م/ث، والحافلة تسير أفقيًّا بسرعة 8 م/ث. سرعة المطر بالنسبة للحافلة = سرعة المطر − سرعة الحافلة، ومركبتاها 6 م/ث لأسفل و8 م/ث إلى الخلف:

\begin{gathered} v_{\text{rel}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10, \\ \tan\alpha = \frac{8}{6} \Rightarrow \alpha \approx 53^\circ \end{gathered}

أي إن سرعة المطر بالنسبة للحافلة 10 م/ث، ويرى الراكب المطر يميل بزاوية نحو 53° عن الرأسي.

مثال 4 (سيارتان متعامدتان): السيارة A تتجه شرقًا بسرعة 15 م/ث، والسيارة B تتجه شمالًا بسرعة 20 م/ث. سرعة B بالنسبة لـ A هي $\vec{v}_B - \vec{v}_A$ : مركبة شمالية 20 م/ث ومركبة غربية 15 م/ث، فمقدارها $\sqrt{20^{2}+15^{2}} = 25$ م/ث، واتجاهها يميل عن الشمال نحو الغرب بزاوية $\tan^{-1}(15/20) \approx 37^\circ$ .

ملاحظات مهمة

لا تكتب رقمًا فقط عندما يُطلب اتجاه السرعة؛ حدّد الزاوية ومرجعها (مع الأفقي، أو الرأسي، أو الضفة).
انتبه لترتيب الطرح في السرعة النسبية: المرصود ناقص المراقب. عكس الترتيب يعطي سهمًا بالمقدار نفسه لكن في الاتجاه المعاكس.
السرعة لا معنى لها إلا مع تحديد الإطار المرجعي؛ فالمراقب على الأرض والمراقب في الحافلة يسجلان سرعتين مختلفتين للقطرة نفسها وكلاهما محق.
قائد الطائرة الذي يهبط والرياح عمودية على المدرج يوجّه مقدمة الطائرة قليلًا نحو الريح، حتى تكون المحصلة على امتداد المدرج؛ وهي الفكرة نفسها التي تجعل قائد القارب يوجّه قاربه قليلًا عكس التيار ليصل إلى المرسى المقابل تمامًا.

المفاهيم الأساسية

السرعة المحصلة: $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$ بطريقة الذيل على الرأس.
للسرعتين المتعامدتين: $v = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}$ .
مركبتا السرعة: $v_x = v\cos\theta$ و $v_y = v\sin\theta$ .
زمن عبور النهر يحدده المكوّن العمودي على الضفة وحده؛ والتيار يسبب الانجراف فقط.
السرعة النسبية: $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ (سرعة B كما يراها A).

ملخص الدرس

تتحد السرعات كمتجهات لا كأرقام؛ لذلك نرسمها ذيلًا على رأس أو نحللها إلى مركبات ونعالج كل محور وحده ثم نعيد التركيب. في عبور النهر تحدد السرعة العمودية على الضفة زمن العبور، ويحدد التيار مقدار الانجراف. وما يقيسه المراقب يعتمد على حركته: سرعة جسم بالنسبة لمراقب متحرك تساوي سرعة الجسم ناقص سرعة المراقب، ولهذا يبدو المطر الرأسي مائلًا لراكب الحافلة.

أسئلة للتدريب

سبّاح سرعته في الماء الساكن 1.5 م/ث يسبح عموديًّا على ضفتي نهر سرعة تياره 2.0 م/ث. أوجد سرعته بالنسبة للضفة.
لو تضاعفت سرعة التيار في المثال 1، ماذا يحدث لزمن العبور وللانجراف؟ فسّر.
سيارة تتحرك بسرعة 25 م/ث في اتجاه يصنع 37° مع الشرق نحو الشمال. أوجد مركبتيها الشرقية والشمالية (استخدم $\sin 37^\circ \approx 0.6$ و $\cos 37^\circ \approx 0.8$ ).
يرى راكب قطار يسير بسرعة 10 م/ث المطرَ يسقط بزاوية 45° مع الرأسي، مع أن المطر يسقط رأسيًّا بالنسبة للأرض. احسب سرعة سقوط المطر.
اشرح لماذا يوجّه قائد القارب مقدمته قليلًا عكس اتجاه التيار إذا أراد الوصول إلى النقطة المقابلة تمامًا.