ملخص الحركة الدائرية: الأفقية والرأسية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الأول: الميكانيكا (القوى والحركة)

اربط دلوًا صغيرًا فيه ماء بحبل وأدِره بسرعة في دائرة رأسية. عند أعلى نقطة يكون الدلو مقلوبًا، ومع ذلك لا ينسكب الماء! أبطئ الحركة تدريجيًّا، وعند سرعة معينة يبدأ الماء في الانسكاب قرب القمة. ما الذي يُبقي الماء في الدلو؟ نطبق في هذا الدرس فكرة القوة المركزية على حركات أفقية ورأسية أكثر تعقيدًا.

أهداف التعلم

أن تحدد القوى المؤثرة في جسم يتحرك في دائرة أفقية أو رأسية.
أن تحلل البندول المخروطي وحركة كرة داخل إناء مخروطي أملس.
أن تحسب الشد عند قمة الدائرة الرأسية وقاعها.
أن تحسب السرعة الدنيا عند القمة وتفسر ظاهرة الدلو.

شرح الدرس

القاعدة العامة

في أي حركة دائرية نختار محورًا نحو المركز، ونكتب: محصلة القوى نحو المركز $= \frac{mv^{2}}{r}$ . أما في الاتجاه العمودي على مستوى الدائرة (إذا لم يتحرك فيه الجسم) فتكون القوى متزنة.

الحركة الأفقية: البندول المخروطي

جسم كتلته $m$ معلق بخيط طوله $l$ ، يدور في دائرة أفقية نصف قطرها $r$ بسرعة ثابتة، فيصنع الخيط زاوية ثابتة $\theta$ مع الرأسي. القوتان المؤثرتان: الوزن $mg$ والشد $T$ . نحلل الشد:

المركبة الأفقية $T\sin\theta$ نحو المركز هي القوة المركزية: $T\sin\theta = \frac{mv^{2}}{r}$ .
المركبة الرأسية توازن الوزن: $T\cos\theta = mg$ .

وبقسمة المعادلتين:

\tan\theta = \frac{v^{2}}{g\,r}

حيث $r = l\sin\theta$ . وبالمثل، كرة تدور داخل إناء مخروطي أملس في دائرة أفقية: القوة العمودية $N$ ووزنها فقط، والمركبة الأفقية لـ $N$ هي القوة المركزية والرأسية توازن الوزن، فنحصل على $v^{2} = g\,r\tan\theta$ حيث $\theta$ زاوية ميل جدار الإناء على الأفقي. لاحظ أن الكتلة تختفي من النتيجة.

رسمان: بندول مخروطي فيه خيط يصنع زاوية ثيتا مع الرأسي، والشد على امتداد الخيط والوزن لأسفل ونصف قطر الدائرة الأفقية r؛ ودائرة رأسية عند قمتها الشد والوزن كلاهما لأسفل نحو المركز، وعند قاعها الشد لأعلى والوزن لأسفل

الحركة الرأسية: الشد عند القمة والقاع

جسم مربوط بخيط طوله $r$ يدور في دائرة رأسية. هنا تتغير السرعة حول الدائرة: أكبر ما يمكن عند القاع وأصغر ما يمكن عند القمة.

عند القمة: الشد والوزن كلاهما لأسفل نحو المركز: $T + mg = \frac{mv^{2}}{r}$ ، فيكون $T = \frac{mv^{2}}{r} - mg$ (أصغر شد).
عند القاع: الشد لأعلى نحو المركز والوزن لأسفل: $T - mg = \frac{mv^{2}}{r}$ ، فيكون $T = \frac{mv^{2}}{r} + mg$ (أكبر شد).

السرعة الدنيا عند القمة

الخيط يشد ولا يدفع، فلا يكون الشد سالبًا. الحالة الحدية أن يصبح الشد صفرًا عند القمة فيكون الوزن وحده هو القوة المركزية:

mg = \frac{m v_{\min}^{2}}{r} \Rightarrow v_{\min}^{2} = g\,r

إذا قلت السرعة عند القمة عن $\sqrt{gr}$ يرتخي الخيط ويخرج الجسم عن المسار الدائري. وهذا تفسير الدلو: عند القمة يحتاج الماء إلى قوة مركزية لأسفل مقدارها $\frac{mv^{2}}{r}$ ؛ فإذا كانت السرعة كافية كان وزنه أقل من المطلوب، فيدفعه قاع الدلو لأسفل بالباقي ويبقى الماء فيه. وإذا قلت السرعة عن $\sqrt{gr}$ صار الوزن أكبر من المطلوب فيسقط الماء أسرع من الدلو وينسكب.

أمثلة وتطبيقات

نستخدم $g = 9.8$ م/ث².

مثال 1 (دائرة رأسية): كرة كتلتها 0.50 كجم مربوطة بخيط طوله 0.80 م تدور في دائرة رأسية.

السرعة الدنيا عند القمة: $v_{\min} = \sqrt{9.8 \times 0.80} \approx 2.8$ م/ث.
إذا كانت سرعتها عند القمة 4 م/ث: $T = \frac{0.50 \times 16}{0.80} - 0.50 \times 9.8 = 10 - 4.9 = 5.1$ نيوتن.
إذا كانت سرعتها عند القاع 6 م/ث: $T = \frac{0.50 \times 36}{0.80} + 4.9 = 22.5 + 4.9 = 27.4$ نيوتن.

مثال 2 (بندول مخروطي): كرة كتلتها 0.20 كجم على خيط طوله 1.0 م يصنع 30° مع الرأسي.

نصف القطر $r = 1.0 \sin 30^\circ = 0.50$ م.
$v^{2} = g\,r\tan\theta = 9.8 \times 0.50 \times 0.577 \approx 2.83$ ، فتكون $v \approx 1.7$ م/ث.
الشد $T = \frac{mg}{\cos\theta} = \frac{1.96}{0.866} \approx 2.3$ نيوتن.
الزمن الدوري $\frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 0.50}{1.68} \approx 1.9$ ث.

تحقق من المعقولية: الشد في البندول المخروطي أكبر من الوزن (1.96 نيوتن) لأن جزءًا منه فقط يعمل رأسيًّا، وفي الدائرة الرأسية كان الشد عند القاع أكبر كثيرًا منه عند القمة.

ملاحظات مهمة

الحركة في الدائرة الرأسية ليست منتظمة؛ فلا تستخدم سرعة واحدة لكل النقاط، بل السرعة عند النقطة المدروسة.
عند القمة يكون اتجاه المركز لأسفل، فالوزن يساعد الشد في توفير القوة المركزية؛ وعند القاع يعاكسه.
السرعة الدنيا $\sqrt{gr}$ لا تعتمد على الكتلة.
في البندول المخروطي لا تخلط بين طول الخيط $l$ ونصف قطر الدائرة $r = l\sin\theta$ .

المفاهيم الأساسية

محصلة القوى نحو المركز $= mv^{2}/r$ في كل حركة دائرية.
البندول المخروطي: $T\cos\theta = mg$ ، $T\sin\theta = mv^{2}/r$ ، $\tan\theta = v^{2}/(gr)$ .
الكرة في إناء مخروطي أملس: $v^{2} = gr\tan\theta$ .
الدائرة الرأسية: $T_{\text{top}} = mv^{2}/r - mg$ و $T_{\text{bottom}} = mv^{2}/r + mg$ .
السرعة الدنيا عند القمة: $v_{\min}^{2} = gr$ .

ملخص الدرس

في كل حركة دائرية تكون محصلة القوى نحو المركز مساوية لـ $mv^{2}/r$ . في البندول المخروطي تتزن المركبة الرأسية للشد مع الوزن وتوفر المركبة الأفقية القوة المركزية. وفي الدائرة الرأسية تتغير السرعة والشد؛ فالشد أصغر عند القمة حيث يساعده الوزن، وأكبر عند القاع حيث يعاكسه، ولا يكمل الجسم الدائرة ما لم تكن سرعته عند القمة $\sqrt{gr}$ على الأقل.

أسئلة للتدريب

كرة كتلتها 0.3 كجم على خيط طوله 0.6 م تدور في دائرة رأسية. احسب أقل سرعة عند القمة، ثم الشد عند القاع إذا كانت سرعتها هناك 5 م/ث.
في بندول مخروطي يصنع الخيط 45° مع الرأسي ونصف قطر الدائرة 0.4 م. احسب سرعة الكرة.
لماذا يكون الشد عند قاع الدائرة الرأسية أكبر منه عند قمتها؟
اشرح لماذا ينسكب الماء من الدلو إذا أُدير ببطء شديد في دائرة رأسية.
كرة تدور داخل إناء مخروطي أملس في دائرة أفقية. ما القوى المؤثرة فيها؟ وما الذي يوفر القوة المركزية؟