ملخص الطاقة الداخلية للغاز — ثانية ثانوي

معلومات الدرس

الشعبة: مسار الطب وعلوم الحياة (مادة تخصصية اختيارية: يختار الطالب بينها وبين الرياضيات)
الترم: الثاني
رقم الدرس: 1-4 (الفصل الأول: الغازات والحرارة)

المحتوى الرئيسي

تعريف الطاقة الداخلية

الطاقة الداخلية لكمية من الغاز هي مجموع طاقات الحركة (الحركية) لجميع جزيئاته المفردة نتيجة حركتها العشوائية المستمرة. في الغاز المثالي أحادي الذرة (كغازات النبيلة: الهيليوم، النيون، الأرجون)، لا توجد طاقة وضع بين الجزيئات (لأنه لا توجد قوى تجاذب بين الجزيئات حسب فروض النظرية الحركية)، ولا طاقة دوران أو اهتزاز معتبرة لأن الذرة المفردة تُعامَل كنقطة، فتكون الطاقة الداخلية بالكامل هي مجموع طاقات الحركة الانتقالية لكل الجزيئات.

الطاقة الداخلية كخاصية للحالة

الطاقة الداخلية $U$ خاصية للحالة (Function of State)، أي أن قيمتها في أي لحظة تعتمد فقط على الحالة الحالية للغاز (وتحديدًا على درجة حرارته لكمية ثابتة من غاز مثالي)، ولا تعتمد إطلاقًا على المسار أو الطريقة التي وصل بها الغاز إلى هذه الحالة. هذا يختلف جوهريًا عن الحرارة $Q$ والشغل $W$ ، وهما ليسا خاصيتين للحالة بل طريقتان لانتقال (تبادل) الطاقة بين الغاز والوسط المحيط أثناء عملية معينة، وقيمتهما تعتمد على تفاصيل المسار الذي تمّت به العملية.

العلاقة بين الطاقة الداخلية ودرجة الحرارة

بما أن متوسط الطاقة الحركية لجزيء واحد يساوي $\frac{3}{2}k_BT$ (كما رأينا في البند السابق)، فإن الطاقة الداخلية الكلية لعدد $N$ من الجزيئات (أي $n$ مول) هي مجموع هذه الطاقة على كل الجزيئات:

U = N \times \frac{3}{2}k_BT = \frac{3}{2}Nk_BT

وبما أن $Nk_B = nR$ (من العلاقة $k_B = R/N_A$ و $N=nN_A$ )، يمكن كتابة الطاقة الداخلية للغاز المثالي أحادي الذرة بدلالة عدد المولات $n$ مباشرة:

U = \frac{3}{2}nRT

هذه المعادلة تُظهر نتيجة أساسية: الطاقة الداخلية لكمية ثابتة (عدد مولات ثابت) من غاز مثالي أحادي الذرة تتناسب طرديًا مع درجة حرارته المطلقة فقط، ولا تعتمد على الضغط أو الحجم بشكل منفصل عنها.

التغيّر في الطاقة الداخلية

من المعادلة السابقة، يمكن حساب مقدار التغيّر في الطاقة الداخلية $\Delta U$ عندما تتغيّر درجة حرارة كمية ثابتة $n$ من الغاز من $T_1$ إلى $T_2$ :

\Delta U = \frac{3}{2}nR\,\Delta T = \frac{3}{2}nR(T_2-T_1)

فإذا ارتفعت درجة حرارة الغاز ( $\Delta T > 0$ )، تزداد طاقته الداخلية (طاقة حركة جزيئاته)، وإذا انخفضت ( $\Delta T < 0$ )، تقل الطاقة الداخلية، بصرف النظر عمّا حدث للضغط أو الحجم أثناء هذا التغيّر أو الطريقة التي حدث بها.

النقاط الرئيسية

الطاقة الداخلية للغاز المثالي أحادي الذرة: مجموع طاقات الحركة الانتقالية لجزيئاته.
$U$ خاصية للحالة تعتمد على درجة الحرارة فقط لكمية ثابتة من غاز مثالي، بخلاف $Q$ و $W$ اللذين يعتمدان على المسار.
$U = \frac{3}{2}nRT$ لغاز مثالي أحادي الذرة.
التغيّر في الطاقة الداخلية: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\,\Delta T$ ، ويعتمد فقط على الحالتين الابتدائية والنهائية (درجتَي الحرارة).

تطبيقات / أمثلة

مثال 1: احسب الطاقة الداخلية لـ 3 مول من غاز الهيليوم (غاز مثالي أحادي الذرة) عند درجة حرارة 400 كلفن.

الحل: بتطبيق المعادلة مباشرة ( $R = 8.31$ جول/(مول.كلفن)):

U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}\times3\times8.31\times400

U = 1.5\times3\times8.31\times400 = 4.5\times8.31\times400 = 37.395\times400 = 14958 \text{ جول}

مثال 2: كمية من غاز مثالي أحادي الذرة قدرها 2 مول ارتفعت درجة حرارتها من 300 كلفن إلى 500 كلفن. أوجد مقدار التغيّر في طاقتها الداخلية.

الحل:

\Delta U = \frac{3}{2}nR\,\Delta T = \frac{3}{2}\times2\times8.31\times(500-300)

\Delta U = 3\times8.31\times200 = 24.93\times200 = 4986 \text{ جول}

أي أن الطاقة الداخلية زادت بمقدار 4986 جول، بصرف النظر عمّا إذا كانت هذه الزيادة في درجة الحرارة حدثت بضغط ثابت، أو حجم ثابت، أو بأي مسار آخر.

مثال 3: إذا كانت الطاقة الداخلية لـ 1 مول من غاز مثالي أحادي الذرة تساوي 6232.5 جول، أوجد درجة حرارته.

الحل: من $U = \frac{3}{2}nRT$ :

T = \frac{2U}{3nR} = \frac{2\times6232.5}{3\times1\times8.31} = \frac{12465}{24.93} = 500 \text{ كلفن}

ملاحظات

المعادلة $U = \frac{3}{2}nRT$ خاصة بالغاز المثالي أحادي الذرة فقط؛ الغازات ثنائية أو متعددة الذرات (كالنيتروجين والأكسجين) لها طاقة داخلية أكبر عند نفس درجة الحرارة بسبب طاقات إضافية للدوران والاهتزاز، وهذا خارج نطاق هذا البند.
لا تخلط بين الطاقة الداخلية $U$ (خاصية ثابتة تعتمد على الحالة) والحرارة $Q$ (طاقة تنتقل عبر حدود الغاز نتيجة فرق درجة الحرارة)؛ سيتم توضيح العلاقة بينهما وبين الشغل في البند التالي عبر القانون الأول للديناميكا الحرارية.

الأهداف العامة

أن يعرّف الطالب الطاقة الداخلية للغاز المثالي كمجموع طاقات حركة جزيئاته.
أن يشتق الطالب العلاقة بين الطاقة الداخلية وعدد مولات الغاز ودرجة حرارته المطلقة.
أن يميّز الطالب بين الطاقة الداخلية كخاصية للحالة، والحرارة والشغل كطريقتين لتبادل الطاقة.
أن يحسب الطالب مقدار التغيّر في الطاقة الداخلية لكمية معلومة من غاز عند تغيّر درجة حرارته.