أهداف التعلم

• أن يوضح الطالب فكرة التمثيل الدائري للبيانات الإحصائية.
• أن يحسب الطالب قياس الزاوية المركزية لكل فئة (قطاع) من تكرارها.
• أن يتحقق الطالب من أن مجموع قياسات الزوايا المركزية لجميع القطاعات يساوي $360°$.
• أن يرسم الطالب تمثيلًا دائريًا لبيانات مبسّطة.
• أن يقرأ الطالب تمثيلًا دائريًا ويستنتج منه معلومات عن البيانات الأصلية.

شرح الدرس

فكرة التمثيل الدائري

التمثيل بالقطاعات الدائرية هو أسلوب لعرض البيانات الإحصائية بيانيًا في صورة دائرة مقسّمة إلى عدة قطاعات، بحيث يمثل كل قطاع فئة (أو صنفًا) من البيانات، وتكون مساحة كل قطاع (أو بالأدق، قياس زاويته المركزية) متناسبة مع تكرار الفئة التي يمثلها بالنسبة إلى المجموع الكلي للتكرارات. يُستخدم هذا النوع من التمثيل بكثرة لعرض النسب المئوية والتوزيعات، مثل توزيع ميزانية أسرة على بنودها المختلفة.

حساب الزاوية المركزية لكل قطاع

بما أن الدائرة الكاملة تقابل زاوية مركزية قياسها $360°$، فإن قياس الزاوية المركزية لأي قطاع يُحسب بالتناسب بين تكرار تلك الفئة والتكرار الكلي لجميع الفئات:

حيث $\theta$ قياس الزاوية المركزية للفئة، و$f$ تكرار الفئة، و$N$ مجموع التكرارات. وبهذا يمثل كل قطاع دائري نسبة الفئة من مجموع البيانات ممثَّلة كجزء من الدائرة الكاملة.

التحقق من صحة الحساب

بعد حساب قياس الزاوية المركزية لكل فئة، يجب دائمًا التحقق من أن مجموع قياسات جميع الزوايا المركزية يساوي $360°$ بالضبط (أو قريبًا جدًا منه في حال وجود تقريب في الحسابات)؛ فهذا يمثل فحصًا سريعًا لصحة الحل، إذ إن القطاعات مجتمعة تكوّن الدائرة الكاملة.

خطوات رسم تمثيل دائري

1. نحسب مجموع تكرارات جميع الفئات.
2. نحسب قياس الزاوية المركزية لكل فئة بالقانون السابق.
3. نرسم دائرة ونحدد مركزها، ثم نرسم نصف قطر ابتدائي كنقطة بداية.
4. باستخدام المنقلة، نرسم القطاعات المتتالية بقياسات الزوايا المحسوبة، بادئين من نصف القطر الابتدائي.
5. نسمّي كل قطاع باسم الفئة التي يمثلها، ويُفضَّل كتابة نسبتها المئوية أو تكرارها بجانبها.

قراءة التمثيل الدائري

لقراءة تمثيل دائري وتفسيره، نلاحظ أن القطاع الأكبر مساحة (وزاوية) يمثل الفئة الأكثر تكرارًا، والقطاع الأصغر يمثل الأقل تكرارًا. ويمكن أيضًا العودة من قياس الزاوية المركزية إلى معرفة تكرار الفئة أو نسبتها المئوية إذا عُلم العدد الكلي للبيانات، بعكس العلاقة السابقة:

أسئلة للتدريب

• بيانات عن وسائل مواصلات 300 طالب للمدرسة: باص 150، سيارة 60، مشيًا 90. أوجد قياس الزاوية المركزية لكل وسيلة، وتحقق من أن مجموعها $360°$.
• في تمثيل دائري لبيانات مجموعها الكلي 500، كانت الزاوية المركزية لفئة معينة $72°$. أوجد تكرار هذه الفئة.
• في تمثيل دائري لثلاث فئات فقط، كانت زاويتا فئتين $150°$ و $110°$. أوجد زاوية الفئة الثالثة.
• ميزانية أسرة شهرية 4000 جنيه موزعة: إيجار 1600، طعام 1200، مواصلات 400، أخرى 800. أوجد الزاوية المركزية لكل بند في تمثيل دائري لهذه الميزانية.
• في تمثيل دائري، إذا كانت زاوية فئة تساوي $90°$، فما النسبة المئوية التي تمثلها هذه الفئة من إجمالي البيانات؟