ملخص العمليات على الأعداد الصحيحة — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 1: الأعداد والعمليات عليها (العمليات على الأعداد)

تظهر الأعداد السالبة في درجات الحرارة تحت الصفر، وفي الطوابق تحت سطح الأرض، وفي الخسارة المالية. ولكي نحسب بها بثقة نحتاج إلى قواعد واضحة لجمعها وطرحها وضربها وقسمتها، وإلى ترتيب ثابت لإجراء العمليات.

أهداف التعلم

أن يوضح الطالب مفهوم القيمة المطلقة لعدد صحيح.
أن يجمع الطالب ويطرح أعدادًا صحيحة موجبة وسالبة بطريقة صحيحة.
أن يضرب الطالب ويقسم أعدادًا صحيحة مطبقًا قاعدة الإشارات.
أن يرتب الطالب العمليات الحسابية المختلطة وفق أولوياتها الصحيحة.

شرح الدرس

مراجعة الأعداد الصحيحة والقيمة المطلقة

مجموعة الأعداد الصحيحة $Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$ تضم الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر، والصفر ليس موجبًا ولا سالبًا. وهي مجموعة مرتبة؛ فالأعداد تتزايد على خط الأعداد من اليسار إلى اليمين، مثل $-3 > -5$ . القيمة المطلقة لعدد صحيح $a$ (ويُرمز لها $|a|$ ) هي بعد هذا العدد عن الصفر على خط الأعداد، وهي دائمًا عدد غير سالب:

|5| = 5, \quad |{-5}| = 5, \quad |0| = 0

جمع الأعداد الصحيحة

خط أعداد يوضح أن الجمع (−3) + (−4) = −7 بالتحرك يسارًا، وأن (−7) + 4 = −3 بالتحرك يمينًا

عددان لهما نفس الإشارة: نجمع قيمتيهما المطلقتين ونعطي المجموع نفس الإشارة. مثال: $(-3) + (-4) = -(3+4) = -7$ .
عددان مختلفا الإشارة: نطرح القيمة المطلقة الصغرى من القيمة المطلقة الكبرى، ونعطي الناتج إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر. مثال: $(-7) + 4$ ؛ بما أن $|{-7}|=7 > |4|=4$ ، فالناتج $= -(7-4) = -3$ .

طرح الأعداد الصحيحة

طرح عدد صحيح يكافئ جمع معكوسه الجمعي (نظيره في الإشارة):

a - b = a + (-b)

فمثلًا: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ ، وكذلك $(-6) - 2 = (-6) + (-2) = -8$ .

ضرب الأعداد الصحيحة (قاعدة الإشارات)

عند ضرب عددين صحيحين، نضرب قيمتيهما المطلقتين، ثم نحدد إشارة الناتج وفق القاعدة التالية:

موجب $\times$ موجب $=$ موجب.
سالب $\times$ سالب $=$ موجب.
موجب $\times$ سالب $=$ سالب.
سالب $\times$ موجب $=$ سالب.

بعبارة مختصرة: حاصل ضرب عددين متفقين في الإشارة موجب، وحاصل ضرب عددين مختلفين في الإشارة سالب. وتنطبق نفس القاعدة عند ضرب أكثر من عددين، حيث يُحدَّد ناتج الإشارة النهائي بعدد الإشارات السالبة (عدد زوجي منها يعطي ناتجًا موجبًا، وعدد فردي يعطي ناتجًا سالبًا).

قسمة الأعداد الصحيحة

تتبع القسمة نفس قاعدة إشارات الضرب تمامًا، إذ إن القسمة هي العملية العكسية للضرب:

(-20) \div 4 = -5, \qquad (-18) \div (-3) = 6, \qquad 15 \div (-5) = -3

ولاحظ أن ناتج قسمة عددين صحيحين ليس دائمًا عددًا صحيحًا؛ فمثلًا $7 \div 2$ لا يساوي عددًا صحيحًا، لذلك نقول: نقسم «إن أمكن». ولا تجوز القسمة على الصفر.

خواص العمليات على الأعداد الصحيحة

الخاصية	الجمع	الضرب
الانغلاق: الناتج عدد صحيح دائمًا	$(-3) + 5 = 2 \in Z$	$(-3) \times 5 = -15 \in Z$
الإبدال	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
الدمج	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
المحايد	المحايد الجمعي $0$ : $a + 0 = a$	المحايد الضربي $1$ : $a \times 1 = a$
المعكوس الجمعي	$a + (-a) = 0$ ، مثل $7 + (-7) = 0$	—

الطرح منغلق في $Z$ لكنه ليس إبداليًا: $5 - 3 = 2$ بينما $3 - 5 = -2$ .
القسمة ليست منغلقة في $Z$ وليست إبدالية.
خاصية التوزيع: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ ، وتفيد في الحساب الذهني، مثل $(-4) \times 103 = (-4) \times 100 + (-4) \times 3 = -400 - 12 = -412$ .

ترتيب إجراء العمليات

عند وجود أكثر من عملية في نفس المقدار، يجب اتباع ترتيب أولويات ثابت:

الأقواس (من الداخل إلى الخارج).
الأسس (القوى).
الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين حسب ترتيب ورودهما).
الجمع والطرح (من اليسار إلى اليمين حسب ترتيب ورودهما).

هذا الترتيب يضمن الحصول على نفس الناتج دائمًا بغض النظر عمّن يحل المسألة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: احسب $(-8) + 5$ ثم $(-8) + (-5)$ .

الحل:

(-8) + 5: \quad |{-8}|=8 > |5|=5 \Longrightarrow -(8-5) = -3

(-8) + (-5) = -(8+5) = -13

مثال 2: احسب $(-9) - (-4)$ .

الحل:

(-9) - (-4) = (-9) + 4 = -(9-4) = -5

مثال 3: احسب $(-3) \times 4 \times (-2)$ .

الحل: عدد الإشارات السالبة هنا اثنان (زوجي)، إذن الناتج موجب:

|{-3}| \times |4| \times |{-2}| = 3 \times 4 \times 2 = 24

فالناتج $24$ .

مثال 4: احسب قيمة $(-2) + 3 \times (-4) - (-10) \div 5$ مطبقًا ترتيب العمليات.

الحل: نبدأ بالضرب والقسمة أولًا:

3 \times (-4) = -12, \qquad (-10) \div 5 = -2

ثم نعوض:

(-2) + (-12) - (-2) = -2 - 12 + 2 = -12

مثال 5: أعلى نقطة في مصر قمة جبل كاترين بارتفاع يقارب 2629 مترًا فوق مستوى سطح البحر، وأخفض نقطة في منخفض القطارة على عمق يقارب 133 مترًا تحت مستوى سطح البحر. ما الفرق بين الارتفاعين؟

الحل: نعبر عن الارتفاع فوق سطح البحر بعدد موجب وتحته بعدد سالب:

2629 - (-133) = 2629 + 133 = 2762

إذن الفرق نحو 2762 مترًا.

مثال 6: انخفضت درجة الحرارة في مدينة من $4^\circ$ إلى $-3^\circ$ . أوجد مقدار الانخفاض.

الحل: مقدار التغير هو الفرق بين درجتي الحرارة:

4 - (-3) = 4 + 3 = 7

إذن انخفضت درجة الحرارة $7$ درجات.

المفاهيم الأساسية

$|a| \geq 0$ دائمًا، وتمثل بعد العدد عن الصفر.
جمع عددين متفقي الإشارة: نجمع القيمتين المطلقتين ونحتفظ بالإشارة.
جمع عددين مختلفي الإشارة: نطرح الأصغر من الأكبر (بالقيمة المطلقة) ونأخذ إشارة الأكبر.
الطرح يتحول إلى جمع المعكوس: $a - b = a + (-b)$ .
قاعدة الإشارات في الضرب والقسمة: (متفقتان $\to$ موجب)، (مختلفتان $\to$ سالب).
الجمع والضرب في $Z$ منغلقان وإبداليان ودامجان، والمحايد الجمعي 0 والمحايد الضربي 1، ولكل عدد معكوس جمعي.
ترتيب العمليات: أقواس، ثم أسس، ثم ضرب وقسمة، ثم جمع وطرح.

ملخص الدرس

القيمة المطلقة للعدد هي بعده عن الصفر. عند جمع عددين متفقين في الإشارة نجمع قيمتيهما المطلقتين ونحتفظ بالإشارة، وعند اختلاف الإشارتين نطرح ونأخذ إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر. الطرح هو جمع المعكوس الجمعي، وفي الضرب والقسمة تعطي الإشارتان المتفقتان ناتجًا موجبًا والمختلفتان ناتجًا سالبًا، مع الالتزام دائمًا بترتيب العمليات.

أسئلة للتدريب

احسب: $(-15) + 9$ و $12 + (-20)$ .
احسب: $7 - (-6)$ و $(-4) - 9$ .
احسب: $(-6) \times (-7)$ و $8 \times (-3)$ و $(-45) \div (-9)$ .
احسب قيمة المقدار $(-3) \times (-2) + 10 \div (-5)$ مراعيًا ترتيب العمليات.
احسب قيمة $|{-7}| + |4| - |{-2}|$ .
ما المعكوس الجمعي للعدد $-12$ ؟ وهل عملية الطرح إبدالية في $Z$ ؟ مثّل لإجابتك.
استخدم خاصية التوزيع لحساب $(-6) \times 98$ ذهنيًا.