ملخص تنظيم البيانات — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الإحصاء

سجّل مدرب فريق كرة قدم عدد الأهداف في 34 مباراة، فحصل على قائمة طويلة من الأرقام غير المرتبة. كيف يعرف بسرعة عدد المباريات التي سجل فيها الفريق هدفين؟ وكيف يعرض ذلك على اللاعبين؟ الإجابة في تنظيم البيانات وتمثيلها بالمخططات المناسبة.

أهداف التعلم

أن يذكر الطالب خطوات التعامل مع البيانات ويميز السؤال الإحصائي من غير الإحصائي.
أن ينظم الطالب البيانات في قائمة مرتبة وجدول تكراري بسيط وجدول تكراري ذي مجموعات.
أن يمثل الطالب البيانات بمخطط النقاط والأعمدة البيانية والمدرج التكراري.
أن يمثل الطالب البيانات بمخطط الساق والأوراق ويقرأ منه المنوال والوسيط.
أن يمثل الطالب البيانات بالمخطط الصندوقي.
أن يميز الطالب المخطط البياني المضلل من غير المضلل.

شرح الدرس

الإحصاء والسؤال الإحصائي

الإحصاء علم جمع البيانات وتنظيمها وعرضها وتحليلها وتفسيرها لاتخاذ القرارات. ويمر التعامل مع البيانات بخمس خطوات:

تحديد التساؤل أو المشكلة.
جمع البيانات (بالملاحظة أو المقابلة أو الاستبيان).
تنظيم البيانات وعرضها.
تحليل البيانات وتفسيرها.
التنبؤ واتخاذ القرار.

السؤال الإحصائي سؤال تتنوع إجاباته ويحتاج إلى جمع بيانات، مثل: «ما عدد الأبناء لدى أسر طلاب الصف الأول الإعدادي في مدرستي؟». أما «ما عدد الأبناء في أسرتك؟» فسؤال غير إحصائي لأن له إجابة واحدة.

تنظيم البيانات في قائمة وجدول تكراري

نرتب البيانات تصاعديًا في قائمة مرتبة، ثم نكوّن جدولًا تكراريًا يبين كل قيمة وتكرارها (عدد مرات ظهورها). ويجب أن يساوي مجموع التكرارات عدد البيانات الكلي.

مخطط النقاط ومخطط الأعمدة البيانية

مخطط أعمدة ومخطط نقاط لدرجات 25 طالبًا: التكرارات 2 و2 و4 و9 و5 و3 للدرجات من 3 إلى 8، والمنوال 6

مخطط التمثيل بالنقاط: خط أعداد نضع فوق كل قيمة نقاطًا بعدد تكرارها.
مخطط الأعمدة البيانية: عمود لكل قيمة ارتفاعه يساوي تكرارها، مع ترك فراغات بين الأعمدة.

وكلاهما يُظهر القيم الحقيقية للبيانات، ويسهل منهما معرفة المنوال (القيمة الأكثر تكرارًا).

الجدول التكراري ذو المجموعات والمدرج التكراري

إذا كانت البيانات كثيرة ومتباعدة، نقسمها إلى مجموعات (فئات) متساوية الطول:

نوجد المدى $=$ أكبر قيمة $-$ أصغر قيمة.
نختار عدد المجموعات، ونقسم المدى عليه تقريبًا لنحصل على طول المجموعة.
نكتب المجموعات بدءًا من قيمة لا تزيد على أصغر قيمة، مثل: $41 -$ ، $51 -$ ، $61 -$ ، … وتعني المجموعة « $41 -$ »: من 41 إلى أقل من 51.
نعد القيم الواقعة في كل مجموعة (بالعلامات) ونسجل تكرارها.

ونمثل الجدول ذا المجموعات بـالمدرج التكراري: أعمدة متلاصقة بلا فراغات، عرض كل عمود يساوي طول المجموعة وارتفاعه يساوي تكرارها. والمدرج لا يُظهر القيم الحقيقية للبيانات.

مخطط الساق والأوراق

يقسم كل عدد إلى جزأين: الساق (رقم العشرات) والورقة (رقم الآحاد)، فالعدد 41 ساقه 4 وورقته 1. خطوات رسمه:

نحدد أصغر عدد وأكبر عدد.
نكتب الساق تحت بعضها تصاعديًا في عمود على اليسار.
نكتب الأوراق مرتبة تصاعديًا أمام كل ساق.
نكتب مفتاحًا يوضح القراءة، مثل: $2 \mid 6$ تعني 26.

ويُظهر مخطط الساق والأوراق القيم الحقيقية مرتبة، فيسهل منه إيجاد المنوال والوسيط.

المخطط الصندوقي

يلخص المخطط الصندوقي البيانات في خمس قيم على خط أعداد: القيمة الصغرى، والربيع الأول (وسيط النصف الأدنى من البيانات)، والوسيط، والربيع الثالث (وسيط النصف الأعلى)، والقيمة الكبرى. نرسم صندوقًا من الربيع الأول إلى الربيع الثالث، وخطًا داخله عند الوسيط، وخطين من طرفي الصندوق إلى القيمتين الصغرى والكبرى. وهو لا يُظهر القيم الحقيقية، لكنه يسهل مقارنة توزيع البيانات.

المخططات البيانية المضللة

مخططان للقيمتين نفسيهما 50 و52: الأول محوره يبدأ من الصفر فيظهر فرق صغير، والثاني يبدأ من 48 فيبدو الفرق كبيرًا

قد يعطي المخطط صورة غير صحيحة عن البيانات إذا:

لم يبدأ المحور الرأسي من الصفر، فتبدو الفروق الصغيرة كبيرة.
استُخدم مقياس رسم غير متساوٍ على المحور الرأسي.

لذلك اقرأ أرقام المحاور دائمًا قبل الحكم على المخطط.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (جدول تكراري بسيط): درجات 25 طالبًا في اختبار بعد ترتيبها:

$3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8$

وبعد العد نحصل على الجدول:

الدرجة	3	4	5	6	7	8
التكرار	2	2	4	9	5	3

مجموع التكرارات $2 + 2 + 4 + 9 + 5 + 3 = 25$ . عدد الحاصلين على 7 درجات أو أكثر $= 5 + 3 = 8$ طلاب، والمنوال هو 6.

مثال 2 (جدول ذو مجموعات): أوزان 40 لاعبًا بالكيلوجرام، أصغرها 41 وأكبرها 100.

المدى $= 100 - 41 = 59$ ، أي نحو 60. باختيار 6 مجموعات يكون طول المجموعة $60 \div 6 = 10$ :

الكتل (كجم)	$41 -$	$51 -$	$61 -$	$71 -$	$81 -$	$91 -$
التكرار	6	2	6	12	8	6

عدد اللاعبين الذين كتلة كل منهم 81 كجم أو أكثر $= 8 + 6 = 14$ لاعبًا.

مثال 3 (الساق والأوراق والمخطط الصندوقي): عدد ساعات استخدام الإنترنت أسبوعيًا لـ 27 طالبًا، بعد تنظيمها في مخطط ساق وأوراق:

الساق	الأوراق
1	1 4 5 6 8 8 9
2	0 0 1 1 1 6 7 8
3	0 1 2 2 3 4 5
4	0 1 3 4 6

المفتاح: $2 \mid 6$ تعني 26 ساعة.

المنوال $= 21$ (تكررت الورقة 1 ثلاث مرات في الساق 2).
الوسيط: عدد القيم 27، فالوسيط هو القيمة الرابعة عشرة $= 27$ .
الربيع الأول: وسيط القيم الثلاث عشرة الأولى، وهو القيمة السابعة $= 19$ .
الربيع الثالث: وسيط القيم الثلاث عشرة الأخيرة $= 34$ .
المخطط الصندوقي: القيمة الصغرى 11، والربيع الأول 19، والوسيط 27، والربيع الثالث 34، والقيمة الكبرى 46.

ملاحظات مهمة

في الجدول ذي المجموعات لا تتداخل المجموعات؛ فالقيمة 51 تُحسب في المجموعة « $51 -$ » لا في « $41 -$ ».
الأعمدة البيانية بينها فراغات، أما المدرج التكراري فأعمدته متلاصقة.
تُظهر المخططات بالنقاط والأعمدة والساق والأوراق القيم الحقيقية، بينما لا يُظهرها المدرج التكراري ولا المخطط الصندوقي.

المفاهيم الأساسية

خطوات التعامل مع البيانات: التساؤل، ثم الجمع، ثم التنظيم والعرض، ثم التحليل، ثم التنبؤ واتخاذ القرار.
الجدول التكراري ذو المجموعات يعتمد على المدى وطول المجموعة، ويُمثل بالمدرج التكراري.
مخطط الساق والأوراق يعرض القيم الحقيقية مرتبة، ويحتاج إلى مفتاح.
المخطط الصندوقي يلخص البيانات في القيمة الصغرى والربيعين والوسيط والقيمة الكبرى.
المخطط يكون مضللًا إذا لم يبدأ محوره الرأسي من الصفر أو اختلف مقياس رسمه.

ملخص الدرس

ننظم البيانات لنفهمها: نرتبها في قائمة، ونكوّن لها جدولًا تكراريًا بسيطًا أو ذا مجموعات، ثم نختار التمثيل المناسب: النقاط أو الأعمدة للقيم القليلة، والمدرج التكراري للمجموعات، والساق والأوراق لإظهار القيم مرتبة، والمخطط الصندوقي لتلخيص التوزيع. ونحذر دائمًا من المخططات المضللة بقراءة المحاور بعناية.

أسئلة للتدريب

ميّز السؤال الإحصائي: «كم عمرك؟» أم «ما أعمار طلاب فصلي؟».
مثّل البيانات الآتية بمخطط النقاط ثم أوجد المنوال: $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6$ .
البيانات الآتية كتل 10 طلاب بالكيلوجرام: $43, 48, 52, 55, 57, 61, 63, 64, 70, 72$ . كوّن جدولًا تكراريًا بمجموعات $40 -$ ، $50 -$ ، $60 -$ ، $70 -$ .
مثّل البيانات $21, 25, 26, 33, 34, 38, 41, 42, 42, 47$ بمخطط الساق والأوراق، ثم أوجد الوسيط والمنوال.
مخطط أعمدة يبدأ محوره الرأسي من 50 بدلًا من الصفر. لماذا قد يكون مضللًا؟