ملخص منصفا الزاوية والأجزاء المتناسبة — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الثالثة: نظريات التناسب في المثلث — البند 3-2

ارسم مثلثًا ضلعاه 6 سم و 3 سم، ثم نصّف الزاوية بينهما. ستلاحظ أن المنصف لا يقسم الضلع المقابل من منتصفه، بل يقترب من الضلع الأقصر. فبأي نسبة يقسمه بالضبط؟ هذا ما يجيب عنه هذا الدرس.

أهداف التعلم

أن تستخدم نظرية منصف الزاوية الداخلية لرأس مثلث.
أن تستخدم نظرية منصف الزاوية الخارجية وتعرف متى لا يقطع امتداد القاعدة.
أن توجد طول المنصف الداخلي أو الخارجي لزاوية رأس مثلث.
أن تستخدم عكس النظرية لإثبات أن مستقيمًا ينصف زاوية أو يوازي ضلعًا.

شرح الدرس

نظرية (3): منصف زاوية رأس المثلث

إذا نُصفت زاوية رأس مثلث (أو الزاوية الخارجة عند هذا الرأس) وقسم المنصفُ القاعدةَ من الداخل (أو من الخارج) إلى جزأين، فإن النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

المنصف الداخلي: إذا كان $AD$ ينصف $\angle A$ في $\triangle ABC$ ويقطع $BC$ في $D$ فإن $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ .
المنصف الخارجي: إذا كان $AE$ ينصف الزاوية الخارجة عند $A$ ويقطع امتداد $BC$ في $E$ فإن $\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$ .

فكرة البرهان: نرسم من $C$ مستقيمًا يوازي $AD$ فيقطع امتداد $BA$ في نقطة $H$ ؛ فيكون المثلث $ACH$ متساوي الساقين ( $AH = AC$ )، ثم نطبق نظرية المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث.

ملاحظات على المنصفين

المنصفان الداخلي والخارجي عند الرأس نفسه متعامدان، لأن مجموع الزاويتين الداخلة والخارجة $180^\circ$ ونصفه $90^\circ$ .
إذا كان $AB \neq AC$ فإن النقطتين $D$ و $E$ تقسمان $BC$ من الداخل والخارج بالنسبة نفسها: $\frac{BD}{DC} = \frac{BE}{EC}$ .
إذا كان $AB > AC$ كان $BD > DC$ ، ويقع $E$ على امتداد $BC$ من جهة $C$ .
إذا كان $AB = AC$ (مثلث متساوي الساقين) فإن المنصف الداخلي ينصّف القاعدة، أما منصف الزاوية الخارجة فيكون موازيًا للقاعدة ولا يقطع امتدادها.

طول المنصف الداخلي والخارجي (تمرين مشهور)

إذا كان $AD$ ينصف $\angle A$ من الداخل ويقطع $BC$ في $D$ فإن:

AD = \sqrt{AB \times AC - BD \times DC}

إذا كان $AE$ ينصف $\angle A$ من الخارج ويقطع امتداد $BC$ في $E$ فإن:

AE = \sqrt{BE \times EC - AB \times AC}

عكس النظرية

إذا قسمت نقطة $D$ الضلع $BC$ بحيث $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ فإن $AD$ ينصف الزاوية $A$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلث $ABC$ : $AB = 12$ سم، $AC = 8$ سم، $BC = 15$ سم، و $AD$ ينصف $\angle A$ ويقطع $BC$ في $D$ . أوجد $BD$ و $DC$ .

$\frac{BD}{DC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ ، فنقسم 15 بنسبة $3 : 2$ : $BD = 9$ سم و $DC = 6$ سم.

مثال 2: في المثلث السابق، أوجد طول $AD$ .

$AD = \sqrt{12 \times 8 - 9 \times 6} = \sqrt{96 - 54} = \sqrt{42} \approx 6.48$ سم.

مثال 3: في المثلث $ABC$ : $AB = 9$ سم، $AC = 6$ سم، $BC = 5$ سم. $AD$ ينصف $\angle A$ ويقطع $BC$ في $D$ ، و $AE$ ينصف الزاوية الخارجة عند $A$ ويقطع امتداد $BC$ في $E$ . أوجد $DE$ .

$\frac{BD}{DC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ و $BD + DC = 5$ ، إذن $BD = 3$ سم و $DC = 2$ سم.
$\frac{BE}{EC} = \frac{3}{2}$ و $BE - EC = BC = 5$ ، إذن $EC = 10$ سم و $BE = 15$ سم.
$DE = DC + CE = 2 + 10 = 12$ سم.

مثال 4: في المثلث السابق، تحقق من طول $AE$ ومن تعامد المنصفين.

$AE = \sqrt{BE \times EC - AB \times AC} = \sqrt{150 - 54} = \sqrt{96}$ ، و $AD = \sqrt{54 - 6} = \sqrt{48}$ . في المثلث $ADE$ : $(AD)^2 + (AE)^2 = 48 + 96 = 144 = (DE)^2$ ، فالزاوية $DAE$ قائمة كما توقعنا.

مثال 5: $AD$ متوسط في المثلث $ABC$ . رُسم $DX$ ينصف $\angle ADB$ ويقطع $AB$ في $X$ ، و $DY$ ينصف $\angle ADC$ ويقطع $AC$ في $Y$ . أثبت أن $XY \parallel BC$ .

في $\triangle ADB$ : $\frac{AX}{XB} = \frac{AD}{DB}$ ، وفي $\triangle ADC$ : $\frac{AY}{YC} = \frac{AD}{DC}$ . وبما أن $DB = DC$ (متوسط) فإن $\frac{AX}{XB} = \frac{AY}{YC}$ ، إذن $XY \parallel BC$ .

ملاحظات مهمة

النسبة تكون بين الضلعين المحيطين بالزاوية المنصَّفة، وليس بين الضلع المقابل وأحدهما.
في المنصف الخارجي: القطعتان $BE$ و $EC$ تقاسان من النقطة $E$ خارج القاعدة، والفرق بينهما يساوي $BC$ .
لا تستخدم منصف الزاوية الخارجة في المثلث المتساوي الساقين عند رأسه؛ فهو يوازي القاعدة.

المفاهيم الأساسية

المنصف الداخلي أو الخارجي لزاوية رأس مثلث يقسم القاعدة بنسبة طولي الضلعين الآخرين.
المنصفان الداخلي والخارجي عند الرأس نفسه متعامدان.
في المثلث المتساوي الساقين: منصف زاوية الرأس الخارجة يوازي القاعدة.
طول المنصف الداخلي: $\sqrt{AB \times AC - BD \times DC}$ ، والخارجي: $\sqrt{BE \times EC - AB \times AC}$ .

ملخص الدرس

منصف زاوية رأس المثلث، داخليًّا كان أو خارجيًّا، يقسم القاعدة بنسبة طولي الضلعين المحيطين بالزاوية. ويكون المنصفان متعامدين ويقسمان القاعدة بالنسبة نفسها من الداخل والخارج، إلا في المثلث المتساوي الساقين حيث يوازي المنصف الخارجي القاعدة. ويمكن حساب طول كل منصف بقانون مستنتج من تشابه المثلثات في الدائرة.

أسئلة للتدريب

في المثلث $ABC$ : $AB = 10$ سم، $AC = 6$ سم، $BC = 8$ سم، و $AD$ ينصف $\angle A$ . أوجد $BD$ و $DC$ وطول $AD$ .
في المثلث $ABC$ : $AB = 8$ سم، $AC = 4$ سم، $BC = 6$ سم. إذا كان منصف الزاوية الخارجة عند $A$ يقطع امتداد $BC$ في $E$ فأوجد $EC$ .
لماذا لا يقطع منصف الزاوية الخارجة عند رأس مثلث متساوي الساقين امتداد القاعدة؟
مثلث قائم الزاوية في $B$ ، و $AD$ ينصف $\angle A$ ويقطع $BC$ في $D$ . إذا كان $BD = 15$ سم و $AB : AC = 3 : 5$ فأوجد محيط المثلث.