أهداف التعلم

• أن تعرّف صفر الدالة ومجموعة أصفارها.
• أن تجد أصفار دالة من الدرجة الأولى.
• أن تجد أصفار دالة من الدرجة الثانية أو الثالثة بالتحليل.
• أن تربط بين أصفار الدالة ونقاط تقاطع منحناها مع محور السينات.

شرح الدرس

تعريف صفر الدالة

العدد $a$ صفر للدالة $f$ إذا كان $f(a) = 0$. ومجموعة الأصفار الحقيقية للدالة، ونرمز لها $z(f)$، هي مجموعة كل قيم $x$ الحقيقية التي تجعل $f(x) = 0$. لإيجادها نضع $f(x) = 0$ ونحل المعادلة.

التفسير البياني: أصفار الدالة هي الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع منحناها مع محور السينات.

الدالة الثابتة

• إذا كان $f(x) = 0$ لكل $x$ فإن $z(f) = \mathbb{R}$.
• إذا كان $f(x) = c$ حيث $c \neq 0$ فإن $z(f) = \varnothing$.

دالة الدرجة الأولى

إذا كانت $f(x) = ax + b$ حيث $a \neq 0$، فإن $ax + b = 0$ تعطي $x = \frac{-b}{a}$. مثال: $f(x) = 2x - 6$ فإن $z(f) = \{3\}$.

دالة الدرجة الثانية

نضع $ax^2 + bx + c = 0$ ونحلل المقدار إن أمكن، ثم نستخدم أن حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا كان أحد العاملين صفرًا:

• $f(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$، إذن $z(f) = \{2, 3\}$.
• $f(x) = x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$، إذن $z(f) = \{3, -3\}$.
• $f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$، إذن $z(f) = \{2\}$ (المنحنى يمس محور السينات).
• $f(x) = x^2 + 4$ لا تساوي صفرًا لأي عدد حقيقي لأن $x^2 + 4 \geq 4$، إذن $z(f) = \varnothing$.

دالة الدرجة الثالثة

نخرج العامل المشترك أولًا ثم نحلل:

إذن $z(f) = \{0, 2, -2\}$.

أسئلة للتدريب

1. أوجد $z(f)$ لكل مما يأتي: $f(x) = 3x + 12$، $f(x) = x^2 - 16$، $f(x) = x^2 + 1$.
2. أوجد $z(f)$ حيث $f(x) = x^2 - 7x + 10$.
3. أوجد $z(f)$ حيث $f(x) = x^3 - 9x$.
4. إذا كان $2$ صفرًا للدالة $f(x) = x^2 - ax + 6$ فأوجد $a$، ثم أوجد الصفر الآخر.