أهداف التعلم

• أن تعرّف دالة الكسر الجبري النسبي.
• أن تعيّن مجال دالة كسرية باستخدام أصفار المقام.
• أن تختصر الكسر الجبري إلى أبسط صورة.
• أن تحسب قيمة دالة كسرية عند عدد ينتمي إلى مجالها.

شرح الدرس

التعريف

إذا كانت $p$ و$q$ دالتي كثيرتي حدود، و$q$ ليست الدالة الصفرية، فإن الدالة

تسمى دالة كسر جبري نسبي (أو دالة كسرية).

مجال الدالة الكسرية

الكسر غير معرّف عندما يكون مقامه صفرًا، فنستبعد أصفار المقام من $\mathbb{R}$:

خطوات تعيين المجال: حلّل المقام، أوجد أصفاره، ثم اطرحها من $\mathbb{R}$.

• $n(x) = \frac{x + 3}{x - 5}$: صفر المقام $5$، فالمجال $\mathbb{R} - \{5\}$.
• $n(x) = \frac{2x}{x^2 - 9}$: أصفار المقام $\{3, -3\}$، فالمجال $\mathbb{R} - \{3, -3\}$.
• $n(x) = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$: المقام لا يساوي صفرًا أبدًا، فالمجال $\mathbb{R}$.

اختصار الكسر الجبري

نختصر الكسر بحذف العوامل المشتركة بين البسط والمقام بعد تحليلهما، مع تعيين المجال قبل الاختصار لأن الاختصار قد يخفي بعض أصفار المقام:

المجال هو $\mathbb{R} - \{0, 2\}$، مع أن المقام بعد الاختصار هو $x$ فقط. العدد $2$ يظل مستبعدًا لأنه صفر للمقام الأصلي.

أسئلة للتدريب

1. عيّن مجال: $n(x) = \frac{5}{x + 1}$، $n(x) = \frac{x}{x^2 - x}$، $n(x) = \frac{3x}{x^2 + 4}$.
2. اختصر لأبسط صورة مع تعيين المجال: $n(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$.
3. اختصر: $n(x) = \frac{2x - 6}{9 - x^2}$.
4. إذا كان مجال $n(x) = \frac{x}{x - a}$ هو $\mathbb{R} - \{4\}$ فأوجد $a$.