ملخص الانحدار — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 2-1 من الوحدة الأولى (الارتباط والانحدار)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

عرفت في بند الارتباط كيف تقيس قوة العلاقة بين متغيرين. السؤال التالي عملي أكثر: إذا عرفت قيمة أحد المتغيرين (كعدد ساعات المذاكرة)، فما القيمة المتوقعة للمتغير الآخر (الدرجة)؟ هذا ما يجيب عنه الانحدار: خط مستقيم يلخص العلاقة ويسمح بالتنبؤ. (في الكتاب المدرسي يُكتب المتغيران بالرمزين س وص، ونكتبهما هنا $x$ و $y$ .)

أهداف التعلم

أن تعرّف الانحدار وتذكر أنواعه.
أن توجد معادلة خط انحدار $y$ على $x$ بطريقة المربعات الصغرى.
أن تتنبأ بقيمة $y$ لقيمة معلومة من $x$ .
أن تحسب مقدار الخطأ، وتفهم متى يكون التنبؤ موثوقًا.

شرح الدرس

أولًا: مفهوم الانحدار وأنواعه

الانحدار أسلوب إحصائي يمكن بواسطته تقدير قيمة أحد المتغيرين بمعلومية قيمة المتغير الآخر. وللعلاقة بين متغيرين صور: علاقة خطية طردية، وعلاقة خطية عكسية، وعلاقة غير خطية، ولا توجد علاقة. ومن أنواع الانحدار:

الانحدار الخطي البسيط: يعتمد فيه المتغير التابع $y$ على متغير مستقل واحد $x$ بعلاقة خطية، وهو موضوع هذا الدرس.
الانحدار المتعدد: يعتمد فيه المتغير التابع على أكثر من متغير مستقل.
الانحدار غير الخطي: العلاقة فيه غير خطية (كالدرجة الثانية أو الأسية أو اللوغاريتمية).

ثانيًا: معادلة خط الانحدار

من الهندسة التحليلية تعرف أن معادلة الخط المستقيم هي $y = a + bx$ . وفي الانحدار نبحث عن أفضل خط يمر بنقاط شكل الانتشار أو يقترب منها. وكلما اقتربت النقاط من الخط كان $|r|$ أقرب إلى 1؛ فإذا انطبقت كل النقاط على الخط كانت $r = 1$ أو $r = -1$ .

ثالثًا: طريقة المربعات الصغرى

لا تقع كل النقاط على الخط، فيكون لكل نقطة خطأ $e = y - \hat{y}$ هو الفرق الرأسي بين القيمة الفعلية $y$ والقيمة المقدّرة $\hat{y}$ من الخط. وأفضل خط هو الذي يجعل مجموع مربعات الأخطاء $\sum (y - \hat{y})^2$ أصغر ما يمكن، وهذه هي طريقة المربعات الصغرى.

شكل انتشار لخمس نقاط وخط الانحدار والقطع الرأسية التي تمثل أخطاء التقدير

وينتج عن حلها معادلة خط انحدار $y$ على $x$ :

\hat{y} = a + bx

حيث الميل $b$ (يسمى معامل انحدار $y$ على $x$ ) والثابت $a$ يُحسبان من:

b = \frac{n\sum xy - \sum x \cdot \sum y}{n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2} \qquad a = \frac{\sum y - b\sum x}{n} = \bar{y} - b\,\bar{x}

$b$ : مقدار التغير المتوقع في $y$ عند زيادة $x$ بمقدار وحدة واحدة.
$a$ : القيمة المقدّرة لـ $y$ عندما $x = 0$ (وقد لا يكون لها معنى واقعي دائمًا).
إشارة $b$ هي إشارة معامل الارتباط $r$ : موجبة في الارتباط الطردي، وسالبة في العكسي.

رابعًا: التنبؤ ومقدار الخطأ

نستخدم المعادلة في أمرين: التنبؤ بقيمة $y$ إذا علمنا $x$ ، وتحديد مقدار الخطأ في هذا التنبؤ:

\text{مقدار الخطأ} = \left| \text{القيمة الفعلية} - \text{القيمة المقدّرة} \right|

تحذير: لا تتنبأ بقيم $x$ بعيدة كثيرًا عن مدى القيم التي استخدمتها في حساب المعادلة؛ فقد لا تبقى العلاقة خطية خارج هذا المدى.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: البيانات الآتية لعدد ساعات المذاكرة $x$ ودرجة الاختبار $y$ لخمسة طلاب (وهي بيانات مثال بند الارتباط نفسها):

$x$	2	3	5	6	8
$y$	4	7	6	9	12

أوجد معادلة انحدار $y$ على $x$ ، ثم تنبأ بدرجة طالب يذاكر 7 ساعات، ثم أوجد مقدار الخطأ عند $x = 5$ .

الحل: من بند الارتباط: $n = 5$ و $\sum x = 24$ و $\sum y = 38$ و $\sum xy = 209$ و $\sum x^2 = 138$ .

b = \frac{5(209) - 24 \times 38}{5(138) - 24^2} = \frac{1045 - 912}{690 - 576} = \frac{133}{114} = \frac{7}{6} \approx 1.17

a = \frac{38 - \frac{7}{6} \times 24}{5} = \frac{38 - 28}{5} = 2

فمعادلة خط الانحدار: $\hat{y} = 2 + \frac{7}{6}x$ .

التنبؤ عند $x = 7$ :

\hat{y} = 2 + \frac{7}{6}\times 7 = 2 + \frac{49}{6} \approx 10.17

مقدار الخطأ عند $x = 5$ : القيمة المقدّرة $\hat{y} = 2 + \frac{7}{6}\times 5 \approx 7.83$ ، والقيمة الفعلية $6$ ، فمقدار الخطأ $\left|6 - 7.83\right| \approx 1.83$ .

مثال 2 (ارتباط عكسي): $x$ : 1، 2، 3، 4، 5 و $y$ : 9، 7، 6، 3، 2. هنا $n = 5$ و $\sum x = 15$ و $\sum y = 27$ و $\sum xy = 63$ و $\sum x^2 = 55$ ، فإن:

b = \frac{5(63) - 15 \times 27}{5(55) - 15^2} = \frac{315 - 405}{275 - 225} = \frac{-90}{50} = -1.8, \qquad a = \frac{27 - (-1.8)(15)}{5} = \frac{27 + 27}{5} = 10.8

المعادلة: $\hat{y} = 10.8 - 1.8x$ . الميل سالب لأن الارتباط عكسي؛ فكل زيادة قدرها وحدة في $x$ يصاحبها نقص متوقع قدره $1.8$ في $y$ . وعند $x = 3.5$ يكون $\hat{y} = 10.8 - 6.3 = 4.5$ (داخل مدى البيانات فالتنبؤ مقبول)، أما عند $x = 6$ فيكون $\hat{y} = 0$ (خارج المدى فلا نثق به).

ملاحظات مهمة

معادلة انحدار $y$ على $x$ تختلف عن معادلة انحدار $x$ على $y$ ؛ فلا تبدّل دور المتغيرين.
خط الانحدار يمر دائمًا بنقطة المتوسطين $\left(\bar{x}, \bar{y}\right)$ ؛ ففي المثال الأول $\bar{x} = 4.8$ و $\bar{y} = 7.6$ و $2 + \frac{7}{6}\times 4.8 = 7.6$ ✓.
إشارة $b$ تعطي اتجاه العلاقة، وقيمة $r$ تحدد قوتها؛ فكلما كان $|r|$ أكبر كان التنبؤ أدق.
لا نستخدم المعادلة للتنبؤ بعيدًا عن مدى بيانات العينة.

المفاهيم الأساسية

الانحدار: أسلوب لتقدير قيمة متغير بمعلومية متغير آخر.
المتغير التابع والمستقل: $y$ تابع، و $x$ مستقل.
طريقة المربعات الصغرى: اختيار الخط الذي يجعل مجموع مربعات الأخطاء أصغر ما يمكن.
معادلة خط الانحدار: $\hat{y} = a + bx$ حيث $b$ الميل و $a$ الثابت.
مقدار الخطأ: القيمة المطلقة للفرق بين القيمة الفعلية والمقدّرة.

ملخص الدرس

الانحدار الخطي البسيط يعبّر عن العلاقة بين متغير تابع $y$ ومتغير مستقل $x$ بالخط $\hat{y} = a + bx$ الذي يجعل مجموع مربعات الأخطاء أصغر ما يمكن. نحسب الميل $b$ من المجاميع ثم الثابت $a = \bar{y} - b\bar{x}$ ، ثم نتنبأ بتعويض قيمة $x$ ، ونقدّر الخطأ بالفرق المطلق بين القيمة الفعلية والمقدّرة. وتكون التنبؤات موثوقة داخل مدى بيانات العينة وكلما كان الارتباط أقوى.

أسئلة للتدريب

أوجد معادلة انحدار $y$ على $x$ للبيانات: $x$ : 1، 2، 3، 4، 5 و $y$ : 3، 5، 4، 7، 6، ثم تنبأ بقيمة $y$ عند $x = 6$ .
إذا كان $n = 10$ و $\sum x = 40$ و $\sum y = 70$ و $\sum xy = 330$ و $\sum x^2 = 200$ فأوجد $b$ و $a$ .
ما معنى $b = 2.5$ في معادلة انحدار الدخل على سنوات الخبرة؟
لماذا يجب الحذر من التنبؤ بقيمة $x$ بعيدة عن مدى البيانات؟
ما الذي تعنيه طريقة المربعات الصغرى؟
وضّح لماذا يمر خط الانحدار بنقطة $\left(\bar{x}, \bar{y}\right)$ .