أهداف التعلم

• أن تعرّف نصف المدى الربيعي وتكتب قانونه.
• أن تحسبه من بيانات مفردة ومن جدول تكراري.
• أن تقارنه بالمدى وتفسر استخدامه عند وجود قيم متطرفة.
• أن تذكر مميزاته وعيوبه.

شرح الدرس

أولًا: من المدى إلى نصف المدى الربيعي

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة. وهو بسيط لكنه يعتمد على قيمتين فقط، فتؤثر فيه أي قيمة متطرفة. أما التمثيل الصندوقي فيحتوي صندوقه على نحو 50% من القيم المتوسطة دون المتطرفة، ومنه يأتي مقياس التشتت الآتي.

المدى الربيعي = $Q_3 - Q_1$، ونصف المدى الربيعي هو نصفه:

حيث $Q$ نصف المدى الربيعي، و$Q_3$ الرباعي الأعلى، و$Q_1$ الرباعي الأدنى.

ثانيًا: الحساب من بيانات مفردة

مثال 1: القيم: 7، 9، 12، 14، 15، 18، 20، 21، 25، 27، 30، 34 ($n = 12$). من درس الرباعيات: $Q_1 = 12.5$ و$Q_3 = 26.5$:

ويكون المدى $34 - 7 = 27$.

ثالثًا: الحساب من جدول تكراري

نعيّن $Q_1$ و$Q_3$ بالجدول المتجمع الصاعد ثم نطبق القانون.

مثال 2: من جدول عدد الكتب التي قرأها 40 طالبًا (في درس الرباعيات) وجدنا $Q_1 = 8.75$ و$Q_3 = 18$:

رابعًا: لماذا نستخدمه؟ أثر القيمة المتطرفة

مثال 3: درجات سبعة طلاب: 12، 15، 17، 20، 22، 25، 30. هنا $Q_1 = 15$ و$Q_3 = 25$ فـ$Q = 5$ والمدى $= 18$. فإذا أضفنا درجة شاذة $100$ أصبحت القيم ثمانية: $Q_1 = 15.5$ و$Q_3 = 28.75$ فـ$Q = 6.625$ تقريبًا، أما المدى فصار $100 - 12 = 88$.

تغير المدى بقدر كبير، وتغير نصف المدى الربيعي قليلًا؛ لذلك يُفضَّل نصف المدى الربيعي عند وجود قيم متطرفة.

خامسًا: المميزات والعيوب

• المميزات: بسيط وسهل الحساب، ولا يتأثر كثيرًا بالقيم المتطرفة فيفضَّل في حالة وجودها.
• العيوب: لا يأخذ كل القيم في الاعتبار؛ فهو يعتمد على الرباعيين فقط.

أسئلة للتدريب

1. أوجد المدى ونصف المدى الربيعي للقيم: 4، 6، 7، 9، 10، 12، 13، 16.
2. إذا كان $Q_1 = 30$ و$Q_3 = 50$ فما نصف المدى الربيعي والمدى الربيعي؟
3. لماذا يُفضَّل نصف المدى الربيعي على المدى عند وجود قيمة متطرفة؟
4. اذكر عيبًا واحدًا لنصف المدى الربيعي.
5. جدول تكراري $Q_1 = 22$ و$Q_3 = 40$، أوجد نصف المدى الربيعي.
6. مجموعتان نصفا مداهما الربيعيان 2.5 و6؛ أيهما أقل تشتتًا ولماذا؟