أهداف التعلم

• أن يوضح الطالب مفهوم التكرار المتجمع الصاعد.
• أن يكوّن الطالب الجدول التكراري المتجمع الصاعد من جدول توزيع تكراري ذي فئات.
• أن يمثل الطالب التكرار المتجمع الصاعد بيانيًا بمنحنى (الأوجيف الصاعد).
• أن يستخدم الطالب الجدول والمنحنى لاستنتاج معلومات عن البيانات (كعدد القيم الأقل من حد معين).

شرح الدرس

مراجعة الجدول التكراري ذي الفئات

عند التعامل مع بيانات كثيرة أو متصلة (مثل درجات الطلاب أو أطوالهم)، تُقسَّم البيانات إلى فئات متساوية الطول، ويُحسب عدد القيم الواقعة في كل فئة، ويسمى هذا العدد التكرار لتلك الفئة. ويوضَّح ذلك في جدول يسمى جدول التوزيع التكراري.

مفهوم التكرار المتجمع الصاعد

التكرار المتجمع الصاعد لفئة معينة هو مجموع تكرار تلك الفئة وتكرارات جميع الفئات التي تسبقها (الأقل منها)، أي أنه يمثل عدد القيم التي تقل عن الحد الأعلى لتلك الفئة (أو تساويه، حسب طريقة بناء الفئات).

بمعنى آخر: التكرار المتجمع الصاعد عند حد فئة معينة = عدد جميع القيم الأصغر من (أو حتى) هذا الحد.

خطوات بناء الجدول التكراري المتجمع الصاعد

1. نرتب الفئات تصاعديًا كما في جدول التوزيع التكراري الأصلي.
2. نضيف عمودًا جديدًا بعنوان “التكرار المتجمع الصاعد”.
3. تكرار الفئة الأولى المتجمع الصاعد = تكرار الفئة الأولى نفسه.
4. لكل فئة تالية: التكرار المتجمع الصاعد = التكرار المتجمع الصاعد للفئة السابقة + تكرار الفئة الحالية.
5. يجب أن يكون التكرار المتجمع الصاعد للفئة الأخيرة مساويًا لمجموع كل التكرارات (العدد الكلي للبيانات $n$).

مثال توضيحي لجدول:

التمثيل البياني بالمنحنى التكراري المتجمع الصاعد (الأوجيف)

لرسم المنحنى التكراري المتجمع الصاعد (يسمى أيضًا الأوجيف):

1. يُمثَّل المحور الأفقي بالحدود العليا للفئات، ويُمثَّل المحور الرأسي بالتكرار المتجمع الصاعد.
2. تُرسم نقاط إحداثياتها (الحد الأعلى للفئة، التكرار المتجمع الصاعد المقابل لها).
3. تُوصل النقاط بمنحنى (أو بخط منكسر) يبدأ عادة من نقطة عند الحد الأدنى للفئة الأولى بتكرار متجمع صفري.
4. الشكل الناتج يكون منحنى تصاعديًا (لا يتناقص أبدًا) لأن التكرار المتجمع الصاعد يزيد أو يبقى كما هو مع كل فئة جديدة.

فائدة المنحنى التكراري المتجمع الصاعد

يُستخدم هذا المنحنى لتقدير:

• عدد القيم الأقل من قيمة معينة (بالنظر إلى الإحداثي الرأسي المقابل لتلك القيمة على المحور الأفقي).
• المتوسطات الموضعية مثل الوسيط تقديريًا (بإيجاد القيمة المقابلة لمنتصف مجموع التكرارات).

صورة الجدول كما تُكتب عادة

تُكتب المجموعات غالبًا بحدها الأدنى فقط، مثل $10 -$ ، $20 -$ ، $30 -$ ، وتعني $10 -$ «من 10 إلى أقل من 20». ويُكتب الجدول المتجمع الصاعد بعمود الحدود العليا بصيغة «أقل من»، ويبدأ بأول حد بتكرار متجمع صفر:

(هذا هو الجدول التوضيحي السابق نفسه بعد كتابته بهذه الصورة.)

معلومات نقرؤها مباشرة من الجدول المتجمع

• عدد القيم الأقل من حد معين: يُقرأ مباشرة من الجدول أو المنحنى.
• عدد القيم التي تساوي حدًا معينًا أو أكثر: العدد الكلي − عدد القيم الأقل من هذا الحد.
• النسبة المئوية: $\frac{\text{العدد المطلوب}}{\text{العدد الكلي}} \times 100\%$.

أسئلة للتدريب

• كوّن جدول التكرار المتجمع الصاعد للفئات والتكرارات: (5–15، 4)، (15–25، 9)، (25–35، 6)، (35–45، 1).
• باستخدام الجدول الناتج في السؤال السابق، كم عدد القيم الأقل من 35؟
• ارسم المنحنى التكراري المتجمع الصاعد (الأوجيف) لبيانات المثال 1 في الدرس.
• إذا كان التكرار المتجمع الصاعد لفئة معينة يساوي التكرار المتجمع الصاعد للفئة التي تسبقها مباشرة، فماذا يمكن أن نستنتج عن تكرار هذه الفئة؟
• وضح لماذا لا يمكن أن يتناقص المنحنى التكراري المتجمع الصاعد أبدًا.