ملخص مقاييس النزعة المركزية للجدول التكراري ذي المجموعات — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الرابعة: الإحصاء

في الصف الأول الإعدادي حسبنا الوسط الحسابي والوسيط والمنوال لبيانات نعرف كل قيمة منها. لكن عندما تُعرض البيانات في جدول تكراري ذي مجموعات لا نعرف القيم الأصلية بدقة، فنلجأ إلى تقدير هذه المقاييس: الوسط الحسابي بالحساب، والوسيط من المنحنى التكراري المتجمع الصاعد، والمنوال من المدرج التكراري.

أهداف التعلم

أن يقدّر الطالب الوسط الحسابي لجدول تكراري ذي مجموعات باستخدام مراكز المجموعات.
أن يقدّر الطالب الوسيط من المنحنى التكراري المتجمع الصاعد أو من الجدول المتجمع الصاعد.
أن يقدّر الطالب المنوال بيانيًا من المدرج التكراري.
أن يقرأ الطالب الجداول والأشكال البيانية التكرارية ويفسرها.

شرح الدرس

تذكّر: مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية قيم تصف مركز تجمع البيانات: الوسط الحسابي (مجموع القيم ÷ عددها)، والوسيط (القيمة التي تتوسط القيم بعد ترتيبها)، والمنوال (القيمة الأكثر شيوعًا).

أولًا: الوسط الحسابي

لا نعرف القيم داخل كل مجموعة، فنعتبر أن قيمها تتركز عند مركز المجموعة:

x_m = \frac{\text{الحد الأدنى للمجموعة} + \text{الحد الأعلى لها}}{2}

ثم نقدّر الوسط الحسابي بالقانون:

\bar{x} = \frac{\sum (f \cdot x_m)}{\sum f}

حيث $\sum f$ مجموع التكرارات، و $\sum (f \cdot x_m)$ مجموع حواصل ضرب مركز كل مجموعة في تكرارها.

ملاحظة عن الكتابة: تُكتب المجموعات عادة بحدها الأدنى فقط، مثل $0 -$ ، $4 -$ ، $8 -$ ، وتعني المجموعة الأولى «من 0 إلى أقل من 4»، وهكذا. والحد الأعلى لكل مجموعة هو الحد الأدنى للمجموعة التالية.

ثانيًا: الوسيط

ترتيب الوسيط $= \frac{n}{2}$ حيث $n$ مجموع التكرارات. ونقدّر الوسيط بإحدى طريقتين:

(أ) من المنحنى التكراري المتجمع الصاعد:

نكوّن الجدول التكراري المتجمع الصاعد ونرسم منحناه.
نعيّن ترتيب الوسيط $\frac{n}{2}$ على المحور الرأسي.
نرسم من هذه النقطة خطًا أفقيًا يقطع المنحنى، ثم خطًا رأسيًا من نقطة التقاطع إلى المحور الأفقي.
مسقط نقطة التقاطع على المحور الأفقي هو قيمة الوسيط تقريبًا.

(ب) من الجدول المتجمع الصاعد بالتناسب: إذا وقع ترتيب الوسيط بين تكرارين متجمعين يقابلان حدين $a$ و $b$ ، نفترض أن المنحنى بينهما خط مستقيم فنكتب التناسب:

\frac{\text{الوسيط} - a}{b - a} = \frac{\text{ترتيب الوسيط} - \text{التكرار المتجمع عند } a}{\text{التكرار المتجمع عند } b - \text{التكرار المتجمع عند } a}

ثالثًا: المنوال

نقدّر المنوال بيانيًا من المدرج التكراري:

نرسم المدرج التكراري، ونحدد المجموعة المنوالية (المستطيل الأعلى، أي الأكبر تكرارًا).
نصل الركن الأيمن العلوي لمستطيل المجموعة المنوالية بالركن الأيمن العلوي للمستطيل السابق له، ونصل الركن الأيسر العلوي لمستطيل المجموعة المنوالية بالركن الأيسر العلوي للمستطيل التالي له (أي نرسم قطعتين متقاطعتين داخل المستطيل الأعلى).
نُسقط نقطة تقاطع القطعتين على المحور الأفقي، فتكون هذه هي قيمة المنوال تقريبًا.

لاحظ أن المنوال يقترب داخل المجموعة المنوالية من جهة المجموعة المجاورة الأكبر تكرارًا.

أمثلة وتطبيقات

الجدول الآتي يبين كتل $20$ طردًا بالكيلوجرام:

المجموعات	$0 -$	$4 -$	$8 -$	$12 -$	المجموع
التكرار $f$	2	6	8	4	20

مثال 1: قدّر الوسط الحسابي.

الحل: مراكز المجموعات: $2$ ، $6$ ، $10$ ، $14$ .

المجموعات	$f$	$x_m$	$f \cdot x_m$
$0 -$	2	2	4
$4 -$	6	6	36
$8 -$	8	10	80
$12 -$	4	14	56
المجموع	20		176

\bar{x} = \frac{176}{20} = 8.8 \text{ كجم}

مثال 2: قدّر الوسيط.

الحل: الجدول المتجمع الصاعد:

الحدود العليا	أقل من $0$	أقل من $4$	أقل من $8$	أقل من $12$	أقل من $16$
التكرار المتجمع الصاعد	0	2	8	16	20

ترتيب الوسيط $= \frac{20}{2} = 10$ ، ويقع بين التكرارين المتجمعين $8$ (عند $8$ ) و $16$ (عند $12$ ):

\frac{\text{الوسيط} - 8}{12 - 8} = \frac{10 - 8}{16 - 8} = \frac{2}{8} \Longrightarrow \text{الوسيط} - 8 = 4 \times \frac{2}{8} = 1 \Longrightarrow \text{الوسيط} = 9 \text{ كجم}

وهي القيمة نفسها التي نقرؤها من المنحنى المتجمع الصاعد عند الترتيب $10$ .

مثال 3: قدّر المنوال.

الحل: المجموعة المنوالية هي $8 -$ (أكبر تكرار $8$ )، والمجموعة السابقة تكرارها $6$ والتالية تكرارها $4$ . برسم المدرج التكراري والقطعتين المتقاطعتين داخل مستطيل المجموعة المنوالية، نجد أن مسقط نقطة التقاطع يقع عند $9.3$ تقريبًا، أي أن المنوال $\approx 9.3$ كجم. لاحظ أنه أقرب إلى $8$ منه إلى $12$ ، لأن المجموعة السابقة ( $6$ ) أكبر تكرارًا من التالية ( $4$ ).

ملاحظات مهمة

كل النتائج في هذا الدرس تقديرية، لأننا لا نعرف القيم الأصلية داخل المجموعات.
ترتيب الوسيط $\frac{n}{2}$ يُعيَّن على المحور الرأسي (التكرار المتجمع)، أما قيمة الوسيط فتُقرأ على المحور الأفقي.
المنوال لا يساوي بالضرورة مركز المجموعة المنوالية؛ فموقعه داخلها يتحدد بتكراري المجموعتين المجاورتين.
إذا كان الوسط الحسابي معلومًا وفي الجدول تكرار مجهول $k$ ، نكوّن معادلة من قانون الوسط الحسابي ونحلها لإيجاد $k$ .

المفاهيم الأساسية

مركز المجموعة $= \frac{\text{الحد الأدنى} + \text{الحد الأعلى}}{2}$ .
الوسط الحسابي $\bar{x} = \frac{\sum (f \cdot x_m)}{\sum f}$ .
ترتيب الوسيط $= \frac{n}{2}$ ، والوسيط يُقدَّر من المنحنى التكراري المتجمع الصاعد.
المنوال يُقدَّر من المدرج التكراري بتقاطع قطعتين داخل مستطيل المجموعة المنوالية.

ملخص الدرس

نقدّر الوسط الحسابي للجدول التكراري ذي المجموعات بضرب مركز كل مجموعة في تكرارها وقسمة المجموع على مجموع التكرارات. ونقدّر الوسيط بتعيين ترتيبه $\frac{n}{2}$ على المنحنى التكراري المتجمع الصاعد وقراءة القيمة المقابلة على المحور الأفقي، ونقدّر المنوال من المدرج التكراري بإسقاط نقطة تقاطع قطعتين مرسومتين داخل مستطيل المجموعة المنوالية.

أسئلة للتدريب

أوجد مركز المجموعة الثانية في المجموعات: $5 -$ ، $15 -$ ، $25 -$ ، $35 -$ .
إذا كان $\sum (f \cdot x_m) = 800$ و $\sum f = 50$ ، فأوجد الوسط الحسابي.
جدول تكراري مجموع تكراراته $60$ . ما ترتيب الوسيط؟
المجموعات $0 -$ ، $10 -$ ، $20 -$ ، $30 -$ تكراراتها $5$ ، $9$ ، $4$ ، $2$ على الترتيب. قدّر الوسط الحسابي، ثم ارسم المدرج التكراري وقدّر المنوال.
لماذا يقع المنوال في المثال 3 أقرب إلى الحد الأدنى للمجموعة المنوالية؟