ملخص قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها

درست قوانين الأسس الصحيحة في الصف الأول الإعدادي. في هذا الدرس نطبق هذه القوانين على الأعداد الحقيقية كلها، ومنها الأعداد غير النسبية مثل $\sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ ، فنتعلم مثلًا كيف نحسب $(\sqrt{5})^4$ دون آلة حاسبة.

أهداف التعلم

أن يتذكر الطالب مفهوم الأس الصحيح ويطبق قوانينه الأساسية.
أن يوضح الطالب معنى الأس السالب والأس الصفري.
أن يحسب الطالب قوى أعداد غير نسبية مثل $(\sqrt{3})^4$ و $(-\sqrt{2})^3$ .
أن يبسّط الطالب مقادير عددية تحتوي على أسس باستخدام القوانين المناسبة.

شرح الدرس

مراجعة مفهوم الأس

إذا كان $a$ عددًا حقيقيًا و $n$ عددًا صحيحًا موجبًا، فإن $a^n$ يعني ضرب $a$ في نفسه $n$ مرة:

a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ مرة}}

ويسمى $a$ الأساس و $n$ الأس.

قانون ضرب الأسس المتفقة الأساس

a^m \times a^n = a^{m+n}

فمثلًا $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ .

قانون قسمة الأسس المتفقة الأساس

لأي $a \neq 0$ :

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

فمثلًا $\frac{5^6}{5^2} = 5^4$ .

قانون أس الأس

(a^m)^n = a^{m \times n}

فمثلًا $(3^2)^4 = 3^8$ .

أس حاصل ضرب وأس حاصل قسمة

(a \times b)^n = a^n \times b^n

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad b \neq 0

الأس الصفري والأس السالب

لأي عدد حقيقي $a \neq 0$ :

a^0 = 1

a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \text{وبالمثل} \quad \frac{1}{a^{-n}} = a^n

فمثلًا $7^0 = 1$ ، و $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ ، و $\frac{1}{3^{-2}} = 3^2 = 9$ .

ملاحظة: $0^0$ و $0^{-n}$ غير معرَّفين لأن القسمة على صفر غير جائزة.

قوى الأعداد غير النسبية

القوانين السابقة تنطبق على كل الأعداد الحقيقية، ومنها الجذور. والفكرة الأساسية أن $(\sqrt{a})^2 = a$ لكل $a \geq 0$ ، فنجمع كل عاملين من الجذر معًا:

(\sqrt{5})^4 = \sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5 \times 5 = 25

(\sqrt{5})^3 = (\sqrt{5})^2 \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}

وانتبه للإشارة: الأس الزوجي يجعل الناتج موجبًا، والأس الفردي يحافظ على إشارة الأساس السالب:

(-\sqrt{5})^4 = 25, \qquad (-\sqrt{5})^3 = -5\sqrt{5}, \qquad -(\sqrt{5})^4 = -25

ومن قانون قوة حاصل الضرب: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times (\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$ .

تلخيص القوانين

القانون	الصيغة
ضرب الأسس	$a^m \times a^n = a^{m+n}$
قسمة الأسس	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
أس الأس	$(a^m)^n = a^{mn}$
الأس الصفري	$a^0 = 1$
الأس السالب	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
قوة حاصل الضرب	$(ab)^n = a^n b^n$

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: بسّط $\frac{2^5 \times 2^3}{2^4}$ .

الحل:

\frac{2^5 \times 2^3}{2^4} = \frac{2^{5+3}}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16

مثال 2: أوجد قيمة $(\sqrt{3})^4 + (-\sqrt{2})^6$ .

الحل:

(\sqrt{3})^4 + (-\sqrt{2})^6 = 3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17

مثال 3: بسّط $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$ .

الحل: باستخدام قانون الأس السالب:

\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{16}{9}

مثال 4: بسّط $(x^3y^{-2})^2 \times x^{-4}y^5$ حيث $x, y \neq 0$ .

الحل: نطبق قانون أس حاصل الضرب وأس الأس، ثم نجمع أسس المتغير نفسه:

x^{6}y^{-4} \times x^{-4}y^{5} = x^{6-4}y^{-4+5} = x^{2}y

مثال 5: اختصر لأبسط صورة: $\dfrac{(\sqrt{2})^{5} \times (\sqrt{2})^{3}}{(\sqrt{2})^{4}}$ .

الحل: الأساس واحد، فنجمع أسس البسط ثم نطرح أس المقام:

\frac{(\sqrt{2})^{5} \times (\sqrt{2})^{3}}{(\sqrt{2})^{4}} = (\sqrt{2})^{5 + 3 - 4} = (\sqrt{2})^{4} = 4

مثال 6: أيهما أكبر: $2^{30}$ أم $3^{20}$ ؟

الحل: نكتب العددين بأس واحد باستخدام قانون أس الأس:

2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = (3^{2})^{10} = 9^{10}

وبما أن $9 \gt 8$ والأس موجب، فإن $3^{20} \gt 2^{30}$ .

ملاحظات مهمة

قوانين الأسس تُطبَّق على الضرب والقسمة فقط، فلا يمكن تبسيط $2^{3} + 2^{2}$ بجمع الأسين؛ بل نحسب $8 + 4 = 12$ .
الأس السالب لا يجعل العدد سالبًا: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ وهو عدد موجب.
يختلف $(-3)^{2} = 9$ عن $-3^{2} = -9$ ، لأن الأساس في الثانية هو $3$ فقط.

المفاهيم الأساسية

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ و $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (بشرط اتحاد الأساس).
$(a^m)^n = a^{mn}$ .
$a^0 = 1$ و $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ لكل $a \neq 0$ .
القوانين نفسها تنطبق على الأعداد غير النسبية، و $(\sqrt{a})^2 = a$ لكل $a \geq 0$ .
$0^0$ و $0^{-n}$ غير معرَّفين.

ملخص الدرس

عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسين، وعند القسمة نطرحهما، وعند رفع قوة إلى قوة نضرب الأسين. أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي $1$ ، والأس السالب يعني المقلوب. وتنطبق هذه القوانين على كل الأعداد الحقيقية، فنحسب قوى الجذور بالاستفادة من أن $(\sqrt{a})^2 = a$ ، مع الانتباه إلى إشارة الأساس السالب.

أسئلة للتدريب

بسّط: $\frac{5^7 \times 5^2}{5^6}$ .
أوجد قيمة: $(-\sqrt{3})^{4}$ و $(-\sqrt{3})^{3}$ .
بسّط: $(2^{-3})^2 \times 2^5$ .
أوجد قيمة $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ .
أوجد قيمة: $(2\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{7})^{0}$ .
بسّط: $\frac{a^{5} b^{-1}}{a^{2} b^{-3}}$ حيث $a, b \neq 0$ .
اختصر: $\dfrac{(\sqrt{3})^{7}}{(\sqrt{3})^{3}}$ .
أيهما أكبر: $2^{40}$ أم $5^{20}$ ؟ وضّح طريقتك.
إذا كان $x = \sqrt{2}$ ، فأوجد قيمة $x^{6} - x^{2}$ .