ملخص نظرية ذات الحدين ونظرية متعددة الحدود — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 1 — البراهين الجبرية

تعرف أن $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ . لكن ماذا عن $(a + b)^{7}$ ؟ ضرب القوس في نفسه سبع مرات عمل طويل ومعرّض للأخطاء. انظر إلى صفوف مثلث باسكال: كل صف يعطي معاملات مفكوك قوة من قوى $(a + b)$ . في هذا الدرس نتعلم قاعدة تعطينا أي معامل مباشرة دون ضرب متكرر، ثم نعممها على المقادير ذات الحدود الثلاثة.

أهداف التعلم

أن تحسب معامل ذات الحدين ${}_{n}C_{r}$ وتربطه بمثلث باسكال.
أن تفك $(a + b)^{n}$ باستخدام نظرية ذات الحدين.
أن تجد معامل حد معين أو الحد الخالي من المتغير باستخدام الحد العام دون فك المقدار كاملًا.
أن تجد معامل حد في مفكوك مقدار من ثلاثة حدود بنظرية متعددة الحدود.
أن تستخدم نظرية ذات الحدين في إثبات متطابقات بسيطة ومسائل قابلية القسمة.

شرح الدرس

معامل ذات الحدين

مضروب العدد الصحيح الموجب $n$ هو $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ ، ونعرّف $0! = 1$ . ومعامل ذات الحدين هو عدد طرق اختيار $r$ عنصرًا من $n$ عنصرًا دون ترتيب:

{}_{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

مثال: ${}_{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ . ومن خواصه: ${}_{n}C_{0} = {}_{n}C_{n} = 1$ ، و ${}_{n}C_{r} = {}_{n}C_{n-r}$ (تماثل المعاملات).

مثلث باسكال من الصف صفر إلى الصف السادس، وكل عدد يساوي مجموع العددين فوقه، والصف الرابع ملوّن ويعطي معاملات مفكوك a زائد b أُس 4: واحد، أربعة، ستة، أربعة، واحد

نظرية ذات الحدين

لأي عدد صحيح موجب $n$ :

\begin{aligned} (a + b)^{n} = {}&{}_{n}C_{0}\,a^{n} + {}_{n}C_{1}\,a^{n-1}b \\ &+ {}_{n}C_{2}\,a^{n-2}b^{2} + \cdots \\ &+ {}_{n}C_{r}\,a^{n-r}b^{r} + \cdots + {}_{n}C_{n}\,b^{n} \end{aligned}

لاحظ في المفكوك:

عدد الحدود $n + 1$ .
أس $a$ يتناقص من $n$ إلى الصفر، وأس $b$ يتزايد من الصفر إلى $n$ ، ومجموع الأسين في كل حد يساوي $n$ .
المعاملات هي الصف رقم $n$ في مثلث باسكال.

الحد العام

الحد الذي يكون فيه أس $b$ مساويًا $r$ (وهو الحد رقم $r + 1$ ) هو:

T_{r+1} = {}_{n}C_{r}\,a^{n-r}\,b^{r}

لإيجاد معامل حد معين: نكتب الحد العام، ونجمع أسس المتغير، ونساويها بالأس المطلوب لنجد $r$ ، ثم نعوض. انتبه: إذا كان في الحد الثاني إشارة سالبة أو معامل، فهو جزء من $b$ ، مثل $b = -3y$ .

نظرية متعددة الحدود

عند فك $(a + b + c)^{n}$ يكون الحد الذي يحتوي على $a^{p}b^{q}c^{r}$ (حيث $p + q + r = n$ ) هو:

\frac{n!}{p!\,q!\,r!}\,a^{p}\,b^{q}\,c^{r}

فإذا كانت الحدود تحوي معاملات، مثل $(a - 2b + 3c)^{n}$ ، نعوض بالحد كاملًا: $a^{p}(-2b)^{q}(3c)^{r}$ . ونظرية ذات الحدين حالة خاصة منها بحدين فقط.

تطبيقات: التعويض بقيم مناسبة

بفك $(1 + x)^{n} = {}_{n}C_{0} + {}_{n}C_{1}x + {}_{n}C_{2}x^{2} + \cdots + {}_{n}C_{n}x^{n}$ ثم التعويض بقيمة مناسبة لـ $x$ نحصل على متطابقات مفيدة:

$x = 1$ : ${}_{n}C_{0} + {}_{n}C_{1} + \cdots + {}_{n}C_{n} = 2^{n}$ .
$x = -1$ : ${}_{n}C_{0} - {}_{n}C_{1} + {}_{n}C_{2} - \cdots + (-1)^{n}\,{}_{n}C_{n} = 0$ .
$x = 2$ : ${}_{n}C_{0} + 2\,{}_{n}C_{1} + 2^{2}\,{}_{n}C_{2} + \cdots + 2^{n}\,{}_{n}C_{n} = 3^{n}$ .

وبالتعويض $x = 1$ في أي مفكوك نحصل على مجموع معاملاته.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (فك مقدار): فك $(x - 3)^{4}$ . هنا $a = x$ و $b = -3$ و $n = 4$ ، والمعاملات $1, 4, 6, 4, 1$ :

\begin{aligned} (x - 3)^{4} = {}&x^{4} + 4x^{3}(-3) + 6x^{2}(-3)^{2} \\ &+ 4x(-3)^{3} + (-3)^{4} \end{aligned}

= x^{4} - 12x^{3} + 54x^{2} - 108x + 81

مثال 2 (معامل حد): أوجد معامل $x^{3}$ في مفكوك $(2x + 1)^{6}$ .

\begin{aligned} T_{r+1} &= {}_{6}C_{r}\,(2x)^{6-r}(1)^{r} \\ &= {}_{6}C_{r}\,2^{6-r}\,x^{6-r} \end{aligned}

نريد $6 - r = 3$ ، أي $r = 3$ ، فيكون المعامل ${}_{6}C_{3} \times 2^{3} = 20 \times 8 = 160$ .

مثال 3 (حد بمتغيرين): معامل $x^{2}y^{3}$ في مفكوك $(x - 2y)^{5}$ : نأخذ $r = 3$ ، فيكون ${}_{5}C_{3}\,x^{2}(-2y)^{3} = 10 \times (-8)\,x^{2}y^{3}$ ، والمعامل $-80$ .

مثال 4 (الحد الخالي من $x$ ): في مفكوك $\left(x + \frac{2}{x}\right)^{6}$ :

\begin{aligned} T_{r+1} &= {}_{6}C_{r}\,x^{6-r}\left(\frac{2}{x}\right)^{r} \\ &= {}_{6}C_{r}\,2^{r}\,x^{6-2r} \end{aligned}

الحد الخالي من $x$ عندما $6 - 2r = 0$ ، أي $r = 3$ ، ويساوي ${}_{6}C_{3} \times 2^{3} = 160$ .

مثال 5 (متعددة الحدود): معامل $a^{2}bc$ في مفكوك $(a + 2b - c)^{4}$ :

\begin{aligned} &\frac{4!}{2!\,1!\,1!}\,a^{2}(2b)(-c) \\ &= 12 \times 2 \times (-1)\,a^{2}bc \\ &= -24\,a^{2}bc \end{aligned}

مثال 6 (قابلية القسمة): أثبت أن $9^{n} - 1$ يقبل القسمة على 8 لكل عدد صحيح موجب $n$ .

\begin{aligned} &9^{n} - 1 \\ &= (1 + 8)^{n} - 1 \\ &= {}_{n}C_{1}\,8 + {}_{n}C_{2}\,8^{2} + \cdots + {}_{n}C_{n}\,8^{n} \end{aligned}

كل حد في الطرف الأيمن مضاعف للعدد 8، فالمجموع يقبل القسمة على 8.

ملاحظات مهمة

الحد العام $T_{r+1}$ هو الحد رقم $r + 1$ لا رقم $r$ ؛ فالحد الثالث مثلًا يقابل $r = 2$ .
ضع الحد الثاني كاملًا بإشارته ومعامله بين قوسين قبل رفعه إلى القوة.
معامل الحد يختلف عن معامل ذات الحدين؛ ففي المثال 2 معامل ذات الحدين 20، أما معامل الحد فهو 160.
في نظرية متعددة الحدود تحقق دائمًا أن مجموع الأسس يساوي $n$ ، وإلا فالحد غير موجود في المفكوك.

المفاهيم الأساسية

${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ ، وهي صفوف مثلث باسكال، و ${}_{n}C_{r} = {}_{n}C_{n-r}$ .
$(a + b)^{n}$ له $n + 1$ حدًّا، وحده العام $T_{r+1} = {}_{n}C_{r}\,a^{n-r}b^{r}$ .
في $(a + b + c)^{n}$ : معامل $a^{p}b^{q}c^{r}$ هو $\frac{n!}{p!\,q!\,r!}$ حيث $p + q + r = n$ .
مجموع معاملات مفكوك نحصل عليه بالتعويض بـ $x = 1$ .
$\sum {}_{n}C_{r} = 2^{n}$ ، والمجموع المتناوب للمعاملات صفر.

ملخص الدرس

تعطي نظرية ذات الحدين مفكوك $(a + b)^{n}$ مباشرة: معاملاته هي معاملات ذات الحدين ${}_{n}C_{r}$ (صفوف مثلث باسكال)، وأسس الحدين تتوزع بحيث يكون مجموعها $n$ في كل حد. ويسمح الحد العام بإيجاد أي معامل دون فك كامل، وتعمم نظرية متعددة الحدود الفكرة على ثلاثة حدود بالمعامل $\frac{n!}{p!q!r!}$ . وبالتعويض بقيم مناسبة في مفكوك $(1 + x)^{n}$ نثبت متطابقات للمعاملات ونحل مسائل قابلية القسمة.

أسئلة للتدريب

احسب ${}_{7}C_{2}$ و ${}_{7}C_{5}$ ، وفسّر تساويهما.
فك $(2a - b)^{4}$ .
أوجد معامل $x^{5}$ في مفكوك $(x - 2)^{8}$ .
أوجد الحد الخالي من $x$ في مفكوك $\left(x^{2} - \frac{1}{x}\right)^{6}$ .
أوجد معامل $x^{2}yz$ في مفكوك $(x + y + z)^{4}$ .
أثبت أن ${}_{n}C_{0} + 2\,{}_{n}C_{1} + 4\,{}_{n}C_{2} + \cdots + 2^{n}\,{}_{n}C_{n} = 3^{n}$ .