ملخص التعبيرات النسبية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 1 — البراهين الجبرية

تعلمت منذ سنوات أن $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك 6، وأنك تحتاج إلى مقام مشترك لتجمع $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ . التعبيرات النسبية كسور بسطها ومقامها كثيرات حدود، وتُعامل بالقواعد نفسها، مع خطوة إضافية أساسية: التحليل إلى عوامل أولًا.

أهداف التعلم

أن تحدد القيم المستبعدة لتعبير نسبي وتختزله إلى أبسط صورة.
أن تضرب التعبيرات النسبية وتقسمها وتبسط الناتج.
أن تجمع التعبيرات النسبية وتطرحها بإيجاد مقام مشترك.
أن تبسط الكسور المركبة.

شرح الدرس

التعبير النسبي واختزاله

التعبير النسبي على الصورة $\frac{P}{Q}$ حيث $P$ و $Q$ كثيرتا حدود و $Q \ne 0$ . القيم التي تجعل المقام صفرًا مستبعدة لأن القسمة على الصفر غير معرفة.

الاختزال هو قسمة البسط والمقام على عامل مشترك. التعبير الذي لا يمكن اختزاله أكثر يسمى في أبسط صورة. ولكي نرى العوامل المشتركة نحلل البسط والمقام أولًا:

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \frac{x - 3}{x}

مع ملاحظة أن $x \ne 0$ و $x \ne -3$ في التعبير الأصلي. لا تختصر حدودًا يربطها جمع أو طرح؛ فـ $\frac{x + 3}{3} \ne x$ .

الضرب والقسمة

الضرب: نحلل كل البسوط والمقامات، ثم نضرب البسوط معًا والمقامات معًا، ونختصر العوامل المشتركة.
القسمة: نضرب في مقلوب المقسوم عليه: $\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}$ .

الجمع والطرح

إذا تساوت المقامات نجمع البسوط أو نطرحها ونبقي المقام.
إذا اختلفت: نحلل المقامات، ونكوّن المقام المشترك الأصغر من كل العوامل بأعلى قوة لها، ونضرب بسط كل كسر ومقامه فيما ينقصه، ثم نجمع البسوط فقط، ونحلل البسط الناتج لنرى هل يمكن الاختزال.

الخطأ الشائع: جمع البسوط معًا والمقامات معًا مباشرة، فـ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ne \frac{2}{x + y}$ .

الكسور المركبة

الكسر المركب كسر في بسطه أو مقامه (أو كليهما) كسور، مثل $\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ . لتبسيطه نضرب البسط والمقام في المقام المشترك للكسور الداخلية (هنا $x$ )، فتختفي الكسور الداخلية:

\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)x} = \frac{x - 1}{x + 1}

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (اختزال):

\begin{aligned} \frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 4} &= \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}

والقيم المستبعدة $x = 2$ و $x = -2$ .

مثال 2 (ضرب):

\begin{aligned} &\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x} \times \frac{x + 2}{x + 1} \\ &= \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 2)} \times \frac{x + 2}{x + 1} \\ &= \frac{x - 1}{x} \end{aligned}

مثال 3 (قسمة):

\begin{aligned} &\frac{x^{2} - 16}{x + 1} \div \frac{x - 4}{x^{2} - 1} \\ &= \frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 1} \times \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 4} \\ &= (x + 4)(x - 1) \end{aligned}

مثال 4 (طرح بمقامين مختلفين): بسّط $\frac{x + 5}{x^{2} - x - 2} - \frac{2}{x - 2}$ .

المقام الأول $(x - 2)(x + 1)$ ، فالمقام المشترك $(x - 2)(x + 1)$ :

\begin{aligned} &\frac{x + 5}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{2(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 5 - 2x - 2}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{3 - x}{(x - 2)(x + 1)} \end{aligned}

مثال 5 (كسر مركب): بسّط $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$ . نضرب البسط والمقام في $x^{2}y^{2}$ :

\begin{aligned} \frac{xy^{2} - x^{2}y}{y^{2} - x^{2}} &= \frac{xy(y - x)}{(y - x)(y + x)} \\ &= \frac{xy}{x + y} \end{aligned}

ملاحظات مهمة

حلّل أولًا دائمًا؛ فالعامل المشترك قد لا يظهر إلا بعد التحليل.
انتبه لـ $(a - b) = -(b - a)$ ؛ فـ $\frac{x - 2}{2 - x} = -1$ .
عند الطرح ضع البسط الثاني كله بين قوسين قبل توزيع الإشارة السالبة.
اكتب الناتج النهائي دائمًا في أبسط صورة، واذكر القيم المستبعدة عند الطلب.

المفاهيم الأساسية

التعبير النسبي $\frac{P}{Q}$ غير معرف عندما $Q = 0$ .
الاختزال: حلّل ثم اقسم على العوامل المشتركة.
القسمة = الضرب في المقلوب.
الجمع والطرح: مقام مشترك أصغر ثم عمليات على البسوط فقط.
الكسر المركب: اضرب البسط والمقام في المقام المشترك للكسور الداخلية.

ملخص الدرس

التعبيرات النسبية كسور جبرية نعاملها كالكسور العددية، لكننا نبدأ دائمًا بتحليل البسوط والمقامات حتى تظهر العوامل المشتركة. نختزل بالقسمة على هذه العوامل، ونضرب ثم نختصر، ونقسم بالضرب في المقلوب، ونجمع ونطرح بعد توحيد المقامات، ونتخلص من الكسور الداخلية في الكسر المركب بضرب بسطه ومقامه في مقامها المشترك.

أسئلة للتدريب

اختزل $\frac{2x^{2} - 8}{x^{2} + 4x + 4}$ واذكر القيم المستبعدة.
أوجد $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 9} \times \frac{x - 3}{x - 2}$ في أبسط صورة.
أوجد $\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$ .
بسّط $\frac{1 + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}}$ .
اشرح الخطأ في: $\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{4}{2} = 2$ .