ملخص المتطابقات والبراهين — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 1 — البراهين الجبرية

العبارة $2(x + 3) = 2x + 6$ صحيحة أيًّا كانت قيمة $x$ ، أما $2x + 6 = 10$ فصحيحة عند $x = 2$ فقط. الأولى متطابقة والثانية معادلة. في هذا الدرس نتعلم استغلال المتطابقات لإيجاد ثوابت مجهولة، ونتدرب على كتابة برهان جبري سليم لإثبات أن مقدارين متساويان، دون شروط أو بشرط معطى أو في مسائل التناسب.

أهداف التعلم

أن تميز المتطابقة من المعادلة.
أن تجد ثوابت مجهولة في متطابقة بمقارنة المعاملات أو بالتعويض بقيم مناسبة.
أن تثبت مساواة جبرية بتبسيط كل طرف على حدة.
أن تثبت مساواة مشروطة بالتعويض عن متغير من الشرط.
أن تثبت مساواة في مسائل التناسب بفرض ثابت التناسب $k$ .

شرح الدرس

المتطابقة والمعادلة

المتطابقة في $x$ مساواة تصح لكل قيمة لـ $x$ (في مجال تعريفها)، أما المعادلة فتصح لقيم معينة فقط. وقاعدة مقارنة المعاملات:

\begin{gathered} ax^{2} + bx + c = a'x^{2} + b'x + c' \ \text{متطابقة} \\ \iff a = a',\ b = b',\ c = c' \end{gathered}

طريقتان لإيجاد الثوابت:

مقارنة المعاملات: نفك الطرفين ونرتبهما تنازليًّا حسب قوى $x$ ثم نساوي معاملات القوى المتناظرة.
التعويض بقيم مناسبة: بما أن المتطابقة تصح لكل $x$ ، نعوض بقيم تجعل بعض الحدود أصفارًا فتسهل الحسابات.

وفي المتطابقات التي فيها كسور نضرب أولًا في المقام المشترك للتخلص من المقامات.

إثبات المساواة: من الطرفين إلى تعبير واحد

لإثبات أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر: نبسط كل طرف على حدة حتى يصلا إلى التعبير نفسه (أو نبسط أحدهما حتى يصبح الآخر). لا نبدأ بافتراض المساواة ثم ننقل الحدود بين الطرفين، لأن ذلك يفترض المطلوب.

إثبات المساواة المشروطة

إذا أُعطي شرط مثل $x + y = 1$ أو $a + b + c = 0$ ، نعبّر من الشرط عن متغير بدلالة الباقي، ثم نعوض عنه لنحذفه من المقدار، فيسهل التبسيط.

إثبات المساواة في التناسب

العبارة $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ تسمى تناسبًا. نفرض $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ ، فيكون $a = bk$ و $c = dk$ ، ونعوض في الطرفين. وإذا كان $x : y : z = a : b : c$ نفرض $x = ak$ و $y = bk$ و $z = ck$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (مقارنة المعاملات): أوجد الثوابت $a$ و $b$ و $c$ بحيث تكون $2x^{2} - 5x + 1 = a(x - 1)^{2} + b(x - 1) + c$ متطابقة.

نفك الطرف الأيمن: $ax^{2} + (b - 2a)x + (a - b + c)$ . بمقارنة المعاملات:

\begin{gathered} a = 2 \\ b - 2a = -5 \ \Rightarrow\ b = -1 \\ a - b + c = 1 \ \Rightarrow\ c = -2 \end{gathered}

مثال 2 (التعويض): أوجد $A$ و $B$ إذا كانت $\frac{5x + 1}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$ متطابقة.

بالضرب في المقام: $5x + 1 = A(x - 2) + B(x + 1)$ . نعوض $x = 2$ : $11 = 3B$ فيكون $B = \frac{11}{3}$ . ونعوض $x = -1$ : $-4 = -3A$ فيكون $A = \frac{4}{3}$ .

مثال 3 (إثبات مساواة): أثبت أن $(a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) = (ac + bd)^{2} + (ad - bc)^{2}$ .

الطرف الأيمن:

\begin{aligned} &a^{2}c^{2} + 2abcd + b^{2}d^{2} \\ &\quad + a^{2}d^{2} - 2abcd + b^{2}c^{2} \\ &= a^{2}c^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}c^{2} + b^{2}d^{2} \end{aligned}

والطرف الأيسر بالفك يعطي المقدار نفسه، فالمساواة صحيحة.

مثال 4 (مساواة مشروطة): إذا كان $x + y = 1$ فأثبت أن $x^{2} + y = y^{2} + x$ .

من الشرط $y = 1 - x$ . الطرف الأيسر: $x^{2} + 1 - x$ . الطرف الأيمن: $(1 - x)^{2} + x = 1 - 2x + x^{2} + x = x^{2} - x + 1$ . الطرفان متساويان.

مثال 5 (تناسب): إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ فأثبت أن $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ .

نفرض $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ ، أي $a = bk$ و $c = dk$ :

\begin{gathered} \begin{aligned} \frac{a + b}{b} &= \frac{bk + b}{b} \\ &= k + 1 \end{aligned} \\ \begin{aligned} \frac{c + d}{d} &= \frac{dk + d}{d} \\ &= k + 1 \end{aligned} \end{gathered}

فالطرفان متساويان.

ملاحظات مهمة

التحقق بقيمة أو قيمتين لا يثبت متطابقة، لكن قيمة واحدة لا تحققها تكفي لإثبات أنها ليست متطابقة.
لا «تضرب تبادليًّا» أو تنقل حدودًا بين الطرفين في البرهان كأنك تحل معادلة؛ اشتغل على كل طرف منفصلًا.
في المتطابقات الكسرية اضرب أولًا في المقام المشترك.
اختر قيم التعويض بذكاء: القيم التي تجعل الأقواس أصفارًا.

المفاهيم الأساسية

المتطابقة تصح لكل قيم المتغير، والمعادلة لقيم محددة.
تكون كثيرتا حدود متطابقتين إذا وفقط إذا تساوت معاملات القوى المتناظرة.
إثبات المساواة: بسّط كل طرف حتى يصلا إلى تعبير واحد.
المساواة المشروطة: احذف متغيرًا بالتعويض من الشرط.
التناسب $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ : افرض $a = bk$ و $c = dk$ .

ملخص الدرس

المتطابقة مساواة صحيحة لكل قيم المتغير، ولذلك يمكن إيجاد ثوابتها المجهولة بمقارنة المعاملات أو بالتعويض بقيم مختارة. ولإثبات أن مقدارين متساويان نبسط كل طرف حتى يلتقيا، فإن وُجد شرط عوّضنا منه عن أحد المتغيرات، وإن كان في المسألة تناسب فرضنا ثابت التناسب $k$ وعبّرنا عن المتغيرات به.

أسئلة للتدريب

أوجد $a$ و $b$ بحيث تكون $3x - 7 = a(x - 2) + b$ متطابقة.
أثبت أن $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy$ .
إذا كان $a + b + c = 0$ فأثبت أن $a^{2} + b^{2} + c^{2} = -2(ab + bc + ca)$ .
إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ فأثبت أن $\frac{a - b}{a + b} = \frac{c - d}{c + d}$ .
هل $x^{2} - 1 = (x - 1)^{2}$ متطابقة؟ برّر إجابتك.