ملخص علاقات التكرار والاستقراء — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 2 — المتتابعات

في معمل أدوية، كمية الدواء في جسم مريض كل صباح تساوي نصف كمية الصباح السابق (بعد أن يتخلص الجسم من جزء منه) مضافًا إليها جرعة جديدة 100 ملجم. لا نعرف الكمية مباشرة بدلالة رقم اليوم، لكننا نعرف كيف ننتقل من يوم إلى الذي يليه: هذه علاقة تكرار. وسنتعلم كيف نجد منها صيغة صريحة، ثم كيف نثبت أن صيغة ما صحيحة لكل الأعداد الطبيعية بـالاستقراء الرياضي.

أهداف التعلم

أن تحسب حدود متتابعة معرّفة بعلاقة تكرار.
أن تجد الحد العام لعلاقات التكرار الحسابية والهندسية وعلاقة الفروق.
أن تحل علاقة التكرار $a_{n+1} = p\,a_n + q$ بإيجاد العدد الثابت $\alpha$ .
أن تثبت بالاستقراء الرياضي متطابقات ومتباينات وعبارات قابلية القسمة.

شرح الدرس

علاقة التكرار

علاقة التكرار تعرّف كل حد بدلالة حد سابق (أو أكثر)، مع إعطاء الحد الأول (أو الحدود الأولى). ومن أشهر أنواعها:

علاقة التكرار	نوع المتتابعة	الحد العام
$a_{n+1} = a_n + d$	حسابية	$a_n = a_1 + (n - 1)d$
$a_{n+1} = r\,a_n$	هندسية	$a_n = a_1 r^{n-1}$
$a_{n+1} = a_n + f(n)$	فروقها $f(n)$	$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$

العلاقة $a_{n+1} = p\,a_n + q$

إذا كان $p \ne 1$ ، نبحث عن عدد ثابت $\alpha$ يحقق $\alpha = p\,\alpha + q$ . بطرح هذه المعادلة من علاقة التكرار:

a_{n+1} - \alpha = p\,(a_n - \alpha)

فالمتتابعة $a_n - \alpha$ هندسية أساسها $p$ ، ومنها:

a_n = \alpha + (a_1 - \alpha)\,p^{\,n-1}

مبدأ الاستقراء الرياضي

لإثبات أن عبارة $P(n)$ صحيحة لكل عدد صحيح موجب $n$ :

خطوة الأساس: نثبت أن $P(1)$ صحيحة.
الخطوة الاستقرائية: نفرض أن $P(k)$ صحيحة (فرض الاستقراء)، ونثبت باستخدام هذا الفرض أن $P(k + 1)$ صحيحة.

فتصح العبارة لكل $n$ ، كقطع دومينو متراصة: الأولى تسقط، وكل قطعة تُسقط التي تليها. وإذا كانت العبارة مطلوبة لكل $n \ge n_0$ بدأنا الأساس من $n_0$ .

في المتطابقات: نضيف الحد رقم $k + 1$ إلى طرفي $P(k)$ ونبسط.
في المتباينات: نستخدم فرض الاستقراء ثم نثبت متباينة إضافية بسيطة.
في قابلية القسمة: نكتب المقدار عند $k + 1$ بدلالة المقدار عند $k$ ونبين أن الباقي مضاعف للعدد المطلوب.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (علاقة فروق): $a_1 = 1$ و $a_{n+1} = a_n + 2n$ . الحدود $1, 3, 7, 13, \ldots$ ، والحد العام:

\begin{aligned} a_n &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k \\ &= 1 + (n - 1)n \\ &= n^{2} - n + 1 \end{aligned}

مثال 2 ( $p\,a_n + q$ ): $a_1 = 1$ و $a_{n+1} = 3a_n - 4$ . من $\alpha = 3\alpha - 4$ نجد $\alpha = 2$ ، فيكون $a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ ، و:

a_n = 2 + (1 - 2)\,3^{n-1} = 2 - 3^{n-1}

تحقق: $a_2 = 3(1) - 4 = -1$ ، والصيغة تعطي $2 - 3 = -1$ .

مثال 3 (الدواء): $a_1 = 100$ و $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 100$ . من $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + 100$ نجد $\alpha = 200$ ، فيكون $a_n = 200 - 100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ؛ أي إن كمية الدواء تقترب من 200 ملجم ولا تتجاوزها.

مثال 4 (استقراء لمتطابقة): أثبت أن $1^{2} + 2^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

الأساس: عند $n = 1$ : الطرف الأيسر 1، والأيمن $\frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$ .
الخطوة: بفرض صحتها عند $n = k$ ، نضيف $(k + 1)^{2}$ :

\begin{aligned} &\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^{2} \\ &= \frac{(k + 1)\bigl[k(2k + 1) + 6(k + 1)\bigr]}{6} \\ &= \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \end{aligned}

وهو الطرف الأيمن عند $n = k + 1$ ، لأن $2k^{2} + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3)$ .

مثال 5 (استقراء لمتباينة): أثبت أن $2^{n} > 2n + 1$ لكل $n \ge 3$ .

الأساس: $2^{3} = 8 > 7$ .
الخطوة: بفرض $2^{k} > 2k + 1$ حيث $k \ge 3$ : $2^{k+1} = 2 \times 2^{k} > 4k + 2$ . ويكفي أن $4k + 2 > 2k + 3$ ، أي $2k > 1$ ، وهو صحيح. إذن $2^{k+1} > 2(k + 1) + 1$ .

مثال 6 (قابلية القسمة): أثبت أن $5^{n} - 1$ يقبل القسمة على 4.

الأساس: $5 - 1 = 4$ .
الخطوة: بفرض $5^{k} - 1 = 4m$ : $5^{k+1} - 1 = 5 \times 5^{k} - 1 = 5(4m + 1) - 1 = 20m + 4 = 4(5m + 1)$ .

ملاحظات مهمة

علاقة التكرار وحدها لا تكفي؛ يلزم الحد الأول (أو الحدود الأولى) لتحديد المتتابعة.
في الاستقراء لا تنسَ خطوة الأساس؛ فالخطوة الاستقرائية وحدها لا تثبت شيئًا.
في الخطوة الاستقرائية يجب استخدام فرض الاستقراء صراحة.
تحقق من الحد العام الذي تستنتجه من علاقة تكرار بالتعويض عن حدين أو ثلاثة.

المفاهيم الأساسية

$a_{n+1} = a_n + d$ حسابية، و $a_{n+1} = r a_n$ هندسية، و $a_{n+1} = a_n + f(n)$ تعطي $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$ .
$a_{n+1} = p a_n + q$ : $\alpha = p\alpha + q$ ، و $a_n = \alpha + (a_1 - \alpha)p^{n-1}$ .
الاستقراء: أساس ( $n = 1$ ) + خطوة ( $P(k) \Rightarrow P(k + 1)$ ).
يُستخدم الاستقراء لإثبات المتطابقات والمتباينات وقابلية القسمة.

ملخص الدرس

علاقة التكرار تصف الانتقال من حد إلى الذي يليه، ومنها نستنتج الحد العام: مباشرة في الحالتين الحسابية والهندسية، وبجمع الفروق في علاقة الفروق، وبإيجاد العدد الثابت $\alpha$ في العلاقة $a_{n+1} = p a_n + q$ فتتحول إلى هندسية. ولإثبات أن صيغة صحيحة لكل الأعداد الطبيعية نستخدم الاستقراء الرياضي: نثبتها للحالة الأولى، ثم نبين أن صحتها لعدد تستلزم صحتها للعدد التالي.

أسئلة للتدريب

$a_1 = 4$ و $a_{n+1} = a_n - 3$ . أوجد $a_{10}$ والحد العام.
$a_1 = 2$ و $a_{n+1} = a_n + 3n$ . أوجد الحد العام.
$a_1 = 3$ و $a_{n+1} = 2a_n - 1$ . أوجد الحد العام.
أثبت بالاستقراء أن $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^{2}$ .
أثبت بالاستقراء أن $7^{n} - 1$ يقبل القسمة على 6 لكل عدد صحيح موجب $n$ .