ملخص قوانين كبلر والجاذبية الكونية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الأول: الميكانيكا (القوى والحركة)

بعض الأقمار الصناعية يبدو ثابتًا فوق نقطة واحدة من الأرض، ولهذا توجَّه أطباق استقبال البث التلفزيوني نحوه دون أن تتحرك، بينما تعبر أقمار أخرى السماء بسرعة. والكواكب تدور حول الشمس في مدارات منتظمة رُصدت منذ قرون. ما الذي يحدد زمن دوران القمر أو الكوكب؟ الجواب في قانون الجذب العام وقوانين كبلر. والقمر الصناعي في الحقيقة في حالة سقوط حر دائم: الجاذبية تشده نحو الأرض وسرعته المماسية تحمله إلى الأمام، فيبقى على مسار منحنٍ حولها.

أهداف التعلم

أن تحسب قوة الجذب بين كتلتين باستخدام قانون نيوتن للجذب العام.
أن تشتق السرعة المدارية وعلاقة الزمن الدوري بنصف قطر المدار.
أن تصف قوانين كبلر الثلاثة وتطبقها.
أن تعرف المجال التثاقلي وتحسب شدته، وتميز المجال المنتظم من المجال النصف قطري.

شرح الدرس

قانون الجذب العام

كل جسيمين في الكون يتجاذبان بقوة على امتداد الخط الواصل بينهما، تتناسب طرديًّا مع حاصل ضرب كتلتيهما وعكسيًّا مع مربع المسافة بينهما:

F = \frac{G\,m_1 m_2}{r^{2}}

حيث $G = 6.67 \times 10^{-11}$ نيوتن·م²/كجم² ثابت الجذب العام، وهو واحد لكل الأجسام.

السرعة المدارية والزمن الدوري

قمر كتلته $m$ يدور حول كوكب كتلته $M$ في مدار دائري نصف قطره $r$ . قوة الجذب هي القوة المركزية:

\frac{G M m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r} \Rightarrow v^{2} = \frac{G M}{r}

كتلة القمر تختفي، فالسرعة المدارية لا تعتمد إلا على كتلة الجرم المركزي ونصف القطر. وبالتعويض عن $v = \frac{2\pi r}{T}$ :

\frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{G M}

الطرف الأيمن لا يحوي أي صفة للقمر؛ لذلك كل الأجسام التي تدور حول المركز نفسه لها النسبة $T^{2}/r^{3}$ نفسها.

قوانين كبلر الثلاثة

استنتج كبلر هذه القوانين من أرصاد الكواكب قبل أن يفسرها نيوتن:

القانون الأول (المدارات): يتحرك كل كوكب في مدار إهليلجي تقع الشمس في إحدى بؤرتيه. نصف أطول قطر هو نصف المحور الأكبر $a$ ، ولمدار الأرض يساوي وحدة فلكية واحدة: $1\ \text{AU} = 1.50 \times 10^{11}$ م.
القانون الثاني (المساحات): الخط الواصل من الشمس إلى الكوكب يمسح مساحات متساوية في أزمنة متساوية. وعند الحضيض (أقرب نقطة، $r_1$ ) والأوج (أبعد نقطة، $r_2$ ) تكون السرعة عمودية على نصف القطر، فيكون $r_1 v_1 = r_2 v_2$ ؛ أي إن الكوكب أسرع عندما يكون أقرب إلى الشمس.
القانون الثالث (الأزمنة): $\frac{T^{2}}{a^{3}} = k$ ثابت لكل الأجسام التي تدور حول المركز نفسه، و $k = \frac{4\pi^{2}}{GM}$ . وللمدار الدائري $a = r$ .

مدار إهليلجي تقع الشمس في إحدى بؤرتيه، ومساحتان ملونتان متساويتان يمسحهما الخط الواصل بين الشمس والكوكب في زمنين متساويين: واحدة قصيرة عريضة قرب الحضيض حيث يكون الكوكب سريعًا، وأخرى طويلة رفيعة قرب الأوج حيث يكون بطيئًا

المجال التثاقلي

مجال القوة منطقة يتأثر فيها الجسم بقوة دون تلامس. والمجال التثاقلي مجال يتأثر فيه أي جسم له كتلة بقوة. شدة المجال التثاقلي عند نقطة هي القوة المؤثرة في وحدة الكتلة:

g = \frac{F}{m}

ووحدتها نيوتن/كجم (تكافئ م/ث²)، وهي كمية متجهة. وعلى بعد $r$ من مركز كتلة كروية $M$ :

g = \frac{G M}{r^{2}}

فهي تتبع قانون التربيع العكسي: إذا تضاعفت المسافة من المركز قلّت الشدة إلى الربع. ونمثل المجال بخطوط تتجه دائمًا نحو الكتلة (الجاذبية تجاذب فقط)، وتكون متقاربة حيث يكون المجال أقوى:

المجال المنتظم: خطوط متوازية متساوية التباعد، والشدة واحدة في كل النقاط؛ مثل المجال قرب سطح الأرض في منطقة صغيرة، حيث نعتبر $g \approx 9.8$ نيوتن/كجم ثابتة.
المجال النصف قطري: خطوط تتجمع نحو مركز الكتلة وتتباعد كلما ابتعدنا عنها، فتقل الشدة مع زيادة $r$ ؛ مثل مجال الأرض كلها.

أمثلة وتطبيقات

خذ كتلة الأرض $6.0 \times 10^{24}$ كجم ونصف قطرها $6.4 \times 10^{6}$ م.

مثال 1 (شدة المجال عند سطح الأرض):

\begin{aligned} g &= \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^{6})^{2}} \\ &= \frac{4.0 \times 10^{14}}{4.1 \times 10^{13}} \\ &\approx 9.8 \end{aligned}

أي نحو 9.8 نيوتن/كجم، وهي القيمة المألوفة لعجلة السقوط الحر.

مثال 2 (قوة ضئيلة): طالبان كتلة كل منهما 50 كجم والمسافة بينهما 1 م: $F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1^{2}} \approx 1.7 \times 10^{-7}$ نيوتن؛ قوة صغيرة جدًّا لأن $G$ صغير، ولا تظهر الجاذبية بوضوح إلا حين تكون إحدى الكتلتين هائلة.

مثال 3 (القمر الصناعي الثابت): قمر زمنه الدوري يوم واحد ( $T \approx 8.64 \times 10^{4}$ ث) ويدور في اتجاه دوران الأرض فوق خط الاستواء، فيبدو ثابتًا. من القانون الثالث:

\begin{aligned} r^{3} &= \frac{G M T^{2}}{4\pi^{2}} \\ &= \frac{4.0 \times 10^{14} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{39.5} \\ &\approx 7.6 \times 10^{22} \end{aligned}

فيكون $r \approx 4.2 \times 10^{7}$ م من مركز الأرض (نحو 36 000 كم فوق سطحها).

مثال 4 (القانون الثالث بالنسب): نصف المحور الأكبر لمدار المريخ نحو 1.52 وحدة فلكية. بمقارنته بالأرض ( $T = 1$ سنة، $a = 1$ وحدة فلكية): $T_{\text{Mars}}^{2} = 1.52^{3} \approx 3.51$ ، فتكون $T \approx 1.87$ سنة.

مثال 5 (القانون الثاني): مذنب يمر بالحضيض على بعد 0.6 وحدة فلكية بسرعة 50 كم/ث، وأوجه على بعد 30 وحدة فلكية. من $r_1 v_1 = r_2 v_2$ : $v_2 = \frac{0.6 \times 50}{30} = 1$ كم/ث.

ملاحظات مهمة

$r$ في قانون الجذب هي المسافة بين المركزين؛ لقمر على ارتفاع $h$ فوق السطح: $r = R + h$ .
قانون التربيع العكسي يعني أن مضاعفة المسافة تقسم القوة على 4 لا على 2.
كتلة القمر الصناعي لا تؤثر في سرعته المدارية ولا في زمنه الدوري.
القمر الصناعي في مداره ليس «بلا جاذبية»؛ الجاذبية هناك هي التي تبقيه في مداره، وهو يسقط باستمرار حول الأرض.

المفاهيم الأساسية

$F = Gm_1 m_2 / r^{2}$ ، و $G = 6.67 \times 10^{-11}$ نيوتن·م²/كجم².
السرعة المدارية $v^{2} = GM/r$ لا تعتمد على كتلة القمر.
كبلر: مدار إهليلجي والشمس في بؤرة، ومساحات متساوية في أزمنة متساوية ( $r_1 v_1 = r_2 v_2$ )، و $T^{2}/a^{3}$ ثابت حول المركز نفسه.
شدة المجال التثاقلي $g = F/m = GM/r^{2}$ بوحدة نيوتن/كجم.
المجال المنتظم خطوطه متوازية متساوية التباعد، والنصف قطري خطوطه تتجمع نحو الكتلة.

ملخص الدرس

تتجاذب الكتل بقوة تتناسب مع حاصل ضرب الكتلتين وعكسيًّا مع مربع المسافة بينهما. وعندما توفر هذه القوة القوة المركزية لقمر أو كوكب نحصل على سرعته المدارية وعلى القانون الثالث لكبلر: مربع الزمن الدوري يتناسب مع مكعب نصف قطر المدار. ويصف القانونان الأول والثاني شكل المدار وتغير السرعة عليه. وشدة المجال التثاقلي هي القوة لكل وحدة كتلة، وتقل مع مربع البعد عن مركز الكتلة.

أسئلة للتدريب

احسب قوة التجاذب بين كتلتين 200 كجم و300 كجم المسافة بين مركزيهما 2 م.
إذا تضاعفت المسافة بين مركزي جسمين، ماذا يحدث لقوة التجاذب بينهما؟
نصف المحور الأكبر لمدار كوكب المشتري نحو 5.2 وحدة فلكية. قدّر زمنه الدوري بالسنوات.
لماذا يتحرك الكوكب أسرع عند الحضيض منه عند الأوج؟
احسب شدة المجال التثاقلي على ارتفاع يساوي نصف قطر الأرض فوق سطحها، علمًا بأنها 9.8 نيوتن/كجم عند السطح.